VT100

Камень с видео? Или нет?
Если да , вынуть видеокарту (избавиться от альтернативного звука), сделать загрузочную с линуксом, загрузиться в режиме ознакомления и посмотреть что будет.
Если звук появится знучит винда тупит.
Если нет, то грешить на мамку.

Это физика - невозможно мгновенно отвести тепло с процессора на кулер, тк у кулера есть масса и некоторая собственная теплоёмкость/теплопроводность.
Невозможно вентилятор мгновенно разогнать до более высоких оборотов, тк у него есть масса и + воздух сопротивляется.

Немного загладить пик можно, заранее увеличив обороты вентилятора.

1. RG58 - кабель не шикарный, ширпотребовский, зато дешевый и везде доступный. Его широко применяют для Си-Би-связи (27 мГц). Для вашего случая хотелось бы что-то получше, т.е. побольше диаметром, которое будет сильно (в разы) подороже. Но на крайняк сойдёт и это.
2. Штырёк 10 см - это не "без антенны", это и будет ваша антенна, совершенно ненаправленная, не имеющая согласования с фидером и худшая из возможных. Преимущество её единственное - не будет потерь в разъёме ввиду его отсутствия. Ну и простота изготовления, конечно.
3. Большие потери в кабеле и ненаправленность антенны можно скомпенсировать, воспользовавшись направленной антенной. Вы ведь, надеюсь, будете пользоваться конкретной базовой станцией - той, которая ближайшая? Вот и прицельте на неё свою направленную антенну. Она повысит уровень сигнала на величину своего коэфф. усиления, который даже в простейшем случае бывает значительным (например, "двойной квадрат" Харченко, который способен изготовить даже школьник, имеет усиление 7...8 дб).

Это нетрудно посчитать "на пальцах", если не требуется высокой точности. А поскольку вы ток задали неточно (от 5 до 10 мА), то вам, похоже, точность не нужна.
1. Примем напряжение среднее по диапазону от 7 до 12 вольт, т.е. примерно 10 вольт. Сопротивление вашего устройства для тока питания по закону Ома - 10 вольт/5...10 мА = 1...2 килоом, или 1000...2000 Ом.
2. Постоянная времени RC-цепи показывает, за какое время напряжение на конденсаторе упадёт примерно в 3 раза. Чтобы узнать отсюда ёмкость, надо постоянную времени поделить на сопротивление - 5 сек/1000...2000 Ом = 0,0025... 0,005 фарады.
3. Поскольку у вас напряжение должно снизиться не на две трети, а примерно на треть - значит, конденсатор понадобится большей ёмкости. Ну, увеличиваем её вдвое-втрое.
Итак, искомая ёмкость приблизительно (очень приблизительно!) 5000...15000 микрофарад. Более точно можно установить её по результатам проверки "на железе".
И кстати, электрическая ёмкость аккумулятора в миллиампер-часах - это произведение тока на время, в течение которого он может такой ток обеспечить. В принципе можно посчитать мАч и для конденсатора, но потребуется интегрировать график тока, поскольку у конденсатора, в отличие от аккумулятора, за время разряда ток очень непостоянный. А то, что вы написали (миллиампер/час) - это результат деления, не имеющий ни физического, ни технического смысла.

Никто вам ничего не гарантирует, но если на флэхе была важная инфа, то попробовать можно вот что:
1. Вскрыть пластиковый корпус и обнажить плату, это поможет сделать дальнейшие процедуры более эффективными.
2. Выкупать плату в чистой воде, чтобы вымыть остатки стирального порошка. Можно воду немного нагреть, не выше температуры стирки (всё равно ведь при стирке этот нагрев уже был). Пару-тройку раз сменить воду на свежую и повторить.
3. Выкупать плату в этиловом спирте, поскольку он имеет сродство к воде и активно её растворяет. Чем концентрированнее спирт, тем лучше он растворяет воду (96% - самое то). Тоже повторить пару-тройку раз с заменой спирта на свежий.
4. Тщательно высушить плату, можно под тепловентилятором, можно на отопительной батарее.
5. Воткнуть плату в USB и проверить, видит ли её комп.
6. Если видит и читает/пишет туда, собрать вокруг платы корпус и далее пользоваться. Если не видит, выкинуть и забыть. Если важной инфы там не было, то сразу выкинуть, чтобы не тратить время и спирт зря, поскольку флэшки нынче - расходный материал.

что возвращается в качестве ответа

Сообщения формата NMEA.

Вроде все сообщения из твоего ответа по ссылочке описаны. В частности
$GPGLL,5547.75949,N,03747.58257,E,155030.00,A,A*64
55°47.75949' северной широты, 37°47.58257' восточной долготы, зафиксировано в 15:50:30.00.

Обычно так не делают, но если вы тяготеете к предельной простоте, то да, так можно. Тем не менее кое-что нуждается в комментариях.

качественный звук

Качество звука этой схемой не определяется, а зависит сугубо от того, что скрывается внутри esp32 (я имею ввиду и софт, и железо, т.е. ЦАП).

максимальный ток через динамик -- около 1 А, мощность на динамике -- до 4 Вт

Вот так в лоб это не рассчитывается. Вы забыли, во-первых, про действующее значение переменного напряжения, и во-вторых, двойную амплитуду, т.е. размах. Чтобы получить 4 ватта, вам надо иметь амплитуду звука на динамике около 6 вольт, соответственно размах около 12 вольт. От эмиттерного повторителя при 5-вольтовом питании это не получится.

Для минимального потребления во время простоя держать на аналоговом выходе в это время 0.

Я не программист, но если вы уверены, что сможете написать софт, распознающий паузы в звуке и не создающий на паузах щелчков... в общем, вам виднее. Аналоговая техника решает вопросы экономичности иначе, да и цифровая тоже (ШИМ).

Чтобы не было искажений выводимый сигнал программно сжать и сдвинуть так, чтобы его амплитуда была в диапазоне +0.5...+3.3 вольта.

Тут опять неверная прикидка. В диапазон 0,5...3,3 вольт должна помещаться не амплитуда, а размах. Если он в пределе составляет 2,8 вольт, то пиковая амплитуда - 1,4 вольт, действующее значение - около 1 вольт, и при токе 1 ампер получается всего около 1 ватт.
Тем не менее получить 4 ватта при 5 вольтах питания можно. Для этого надо либо уменьшить сопротивление динамика до 2 Ом (транзистор изменить на более мощный с бОльшим коэфф.усиления по току базы), либо усложнить схему (сделать её 2-тактной или с трансформаторным выходом).