Небольшое отступление от темы...
FQDN - Fully Qualified Domain Name - Полное имя компа в в терминах имен DNS.
Обычно выдается через сервис DNS, если оно там прописано. А прописать его можно двумя путями, непосредственно создав ресурсную запись в сервисе DNS, либо, прописав ее автоматически, например при выдаче IP-адреса через DHCP. При регистрации имени в DNS через DHCP есть один важный момент - сервис DCHP должен уметь записывать ресурсные записи в сервис DNS, обычно через соответствующее разрешение и ключи доступа.
Так как у Вас роутер, то на нем с вероятностью 99% стоит сервис
dnsmasq, который объединяет и DHCP и DNS, и дополнительно разрешения и ключи настраивать не надо.
Теперь конкретно к теме вопроса.
Случай, когда у нас IP-адрес задан вручную - идем в наш сервис DNS и прописываем записи A и PTR в наших локальной (.lan) и обратных зонах (1.168.192.in-addr.arpa.) (
/etc/dmsmasq.conf обычно, либо через web-консольку роутера).
Случай с автоматическим выделением по DHCP. Клиент (копм) при запросе IP-адреса передает имя, обычно это hostname, которое регистрируется в DNS в локальной зоне. При этом резолвер имен на компе должен быть настроен на нужный сервис DNS.
Проверить, что ресурсная запись правильно записана в сервисе DNS утилитой
host
host -v 192.168.1.111
host -v myname.lan
host -v myname
host -v myname.lan 192.168.1.1 # с сервиса DNS по адресу 192.168.1.1
host -v 192.168.1.111 192.168.1.1 # с сервиса DNS по адресу 192.168.1.1
