Чтобы заработала схема с разделенными почтовыми серверами вам необходимо чтобы один из них пересылал почту для ящиков, у него отсутствующих, на другой. Если ни на стороне reg.ru ни на стороне mail.ru почтовые сервера такого не умеют или не делают - простым способом разделить не получится
нормальным, 100% решением, будет поднять свой почтовый сервер. Популярный софт для почтовиков умеет пересылать "неизвестную" почту на другой сервер. В таком случае можно сохранить хостинг части почтовых ящиков на старом почтовом хостинге, но вся почта будет проходить через ваш сервер (стоящий выше всех в приоритетах mx записей)
Но это время на внедрение, затраты на хостинг и прочая, а вы - бюджет, бюджетные организации всегда пытаются игнорировать известное правило
Костыли (идеи что делать, впрочем, сохранить работу "по старому" не удастся в любом случае)
Если один из почтовых сервисов разрешает создание алиасов к почтовым ящикам (
для ящика user1@domain.name можно добавить адреса user2@ user3@ ... user666@) то может помочь перенос почтовых адресов user2 - user666 на субдомен, используя правила пересылки на ящике user1@: если пришло письмо на user2@domain.name - переслать на user2@sub.domain.name и так далее. Это - миграция почти всех почтовых ящиков на субдомен, но при этом почту на основной домен для тех же учеток вы принимать сможете. Правда отправлять почту эти пользователи будут от субдомена.