Виктор Петров

Весь 2021 год Гугл за пределами США очень сильно тормозит: ему явно не хватает ресурсов для обработки информации.
Если он не получает сигналов о важности какого-то нового ресурса, то не поторопится и сканировать и индексировать его. Ждите. Если не хотите ждать – дайте на заданные URL трафик (рекламный, из соцсетей), поставьте ссылки с хорошо индексируемых ресурсов.
Это обычная история, ничего страшного.

Наличие H1 необязательно, можете вообще его снести - в принципе. Никакой пессимизации за это не будет и быть не может.
Просто имейте в виду:

• h1 - важная семантически зона, и ключи в ней имеют особое значение при оценке страницы;
  
• роботы стараются рендерить и считывать страницы так, как их видит и читает человек. От невидимого заголовка h1 толку никакого.
  

Нет никакой разницы. И ПС всё равно, шаблон это или уникальный дизайн.
Главная возможная проблема - это то, что в шаблоне могут быть бэкдоры или уязвимости, благодаря которым сайт может быть взломан. Вычищать с сайта "червей" или из индекса странички, сгенерированные залитым на сайт дорвеем - то ещё удовольствие, да и взлом может стать причиной пессимизации. ПС не хотят, чтобы их пользователи попадали под угрозу, и позиции в выдаче можно потерять надолго.
Но сам по себе "нулленый" шаблон причиной пессимизации сайта быть не может.

Надо понимать, что кластеризация - всегда условна. В рамках SEO кластеризуют по актуальной поисковой выдаче, а она меняется, как и характер запросов со временем. Соответственно, одна страница может ранжироваться не по одному кластеру.
Другой вопрос - надолго ли, и насколько успешно. Чем выше конкуренция - тем меньше шансов.

Screaming Frog Seo Spider
Netpeak Spider
SiteAnalyzer (этот - бесплатный)
Из сервисов - Labrika.ru
Для базовых технических проверок этого достаточно.

От тематики зависит, характера трафика (b2b-b2c), источника - если речь о Яндекс, то там такие перепады скорее норма, особенно в конкурентных тематиках или где "многорукий бандит" особенно активен и в выдачу постоянно подмешиваются всё новые сайты.
Мало данных.

Безусловно, от дублированного контента надо избавляться. Google наказывает за такое со времен Google Fred, Яндекс ввёл аналогичные фильтры с весны 2020. Отчасти именно с этим вызван "шторм" в выдаче последнего полугодия.
Отмечу, что речь не только о SEO-текстах, а именно о шинглах, навигации, сквозных блоках и т.п. И говоря об уникальности, я подразумеваю семантическую уникальность. Рерайтом такое едва ли можно исправить, скорее, подрезанием сквозного контента или деиндексацией страниц-дублей, которые в принципе не нужны в поиске.

Посоветовал бы книги Тимофея Шиколенкова. Он, фактически, не SEO-специалист, но его рекомендациям в этом отношении можно доверять: всё это эффективные практики с учетом множества трендов в электронной торговле, включая и поисковую оптимизацию.

Вам, вероятно, интересен не поиск по картинкам логотипов, а ссылки с этих логотипов. Ну и оформляйте соответственно: при отключенном css видна текстовая ссылка, а с включенным - блоки с логотипами (и подписями). Как реализовать - не важно, лишь бы большим количеством картинок не тормозило загрузку.
Спрайты - неплохая идея.

Посоветовал бы книги/курсы Якова Осипенкова. По GA и GTM хорошие материалы, не только для новичков. Много бесплатного контента.

Товарная микроразметка не заполнена в должном объёме.
На что повлияет? – Ни на что. Микроразметка - не фактор ранжирования, и может использоваться в каких-то объёмах для формирования сниппета на выдаче. А может и не использоваться.
На практике я ни разу не сталкивался с тем, чтобы устранение такого рода проблем как-то влияло на позиции, тем более - речь об отдельных товарных карточках. Если есть ресурсы - можно и устранить.