Mercury13

Возможен и такой изврат: в одном месте будут свойства Лобачевского (через точку можно провести кучу прямых, параллельных данной), в другой — Евклида (ровно одну).

Понятие «расстояние» — |AB| — там есть. Нет понятия «движение», и потому круг нарисовать можно, а нарисовать рядом равный ему, чтобы он имел аналогичные свойства, например, такую же площадь — нет.

10¹⁸ — это обычное 64-битное целое. long long в Си, long в Java, int64 в Delphi.

Очевидно, задача переводная, спичка не только match (это слово у них очень многозначное), но и matchstick. Причём переводил то ли автомат, то ли редкий надмозг, пример неговорящий, и откровенно непонятно: то ли где находится число 11, то ли что на 11-й позиции. Будем решать 2-ю задачу: что на 11-й позиции.

1. Определить количество разрядов (для этого хватает несложного цикла) и какой номер у данного числа среди N-значных чисел.
2. А теперь находим, сколько есть N-значных чисел из M спичек. Рекуррентное соотношение:

Q[N, M] = sum{k = 1..9} (Q[N−1, M−q(k)]), если N — найденная нами значность, но не 1-ца,
Для остальных N формула та же, но суммирование 0…9.
q(0) = 6, q(1) = 2, q(2) = 5, и т.д. — кол-во спичек в цифре.
Граничное условие: Q[0, 0] = 1, Q[0, M] = 0 для остальных M.
«Методом выкручивания рук» также примем, что для отрицательных M все Q равняются 0.

Решаем рекуррентное соотношение динамическим программированием.
3. А теперь самое интересное: воспользовавшись таблицей динамического программирования, находить цифру за цифрой, начиная со старшей.

Например, у нас 15-е число. Первый шаг опустим, поверьте мне: это 4-е двузначное, начиная с нуля.
2-й шаг.
Q[1,2] = 1
Q[1,3] = 1
Q[1,4] = 1
Q[1,5] = 3
Q[1,6] = 3
Q[1,7] = 1
Q[2,4] = 1
Q[2,5] = 2
Q[2,6] не вычислял, главное — запредельно большое.

Q[2,0]…Q[2,3] равняются нулю.
Вычитаем Q[2,4] — получается 3.
Вычитаем Q[2,5] — получается 1.
Вычитаем Q[2,6] — не получается. Итого у нас шесть спичек, остаётся 1.

3-й шаг, работаем по цифре.
Ноль, Q[1, 6−6] = 0. Остаётся 1.
Единица, Q[1, 6−2] = 1. Остаётся 0.
Двойка, Q[1, 6−5] = 0. Остаётся 0.
Тройка, Q[1, 6−5] = 0. Остаётся 0.
Четвёрка, Q[1, 6−4] = 1. Не вычитается, остаётся 2 спички, 1 знак и номер 0. Записываем цифру 4.
Ноль, Q[0, 2−5] = 0. Остаётся 0.
Единица, Q[0, 2−2] = 1. Не вычитается, остаётся 0 спичек, 0 знаков и номер 0. Записываем цифру 1.

Итого получили 41.

Пока самый удачный способ таков.

Переходим в координаты (x, y): x = cos(hue) · sat, y = sin(hue) · sat.
Там можно получить среднее (x, y) и взять atan2.

UPD. Переписал с нуля.
r <= z/x < r + 1
l <= z/y < l + 1

Тогда y/x = z/x : z/y > r / (l+1)
С другой стороны: y/x < z/x : z/y < (r+1)/l

Пока вижу диапазон [r / (l+1)]; [(r+1)/l]
Второе — минус один, если точное целое: приблизиться-то можно, а достичь нельзя. Сымитируем это таким образом…
[r / (l+1)]; [r/l]

Покажем, что границы достижимы (например, первая). Она затрагивает два неравенства.
z/x < r + 1
z/y >= l
Подбором x, y и z можно довести второе до равенства и сколь угодно сильно приблизить первое.

UPD2. Пусть r = [z/x] = 10, l = [z/y] = 3
Тогда [y/x] будет в пределах от [10/4] = 2 до [10/3] = 3. А Если без целой части — то от 2,5 до 3 2/3.
z = 100.000, x=10.000, y=25.001, y/x = 2,5001
z = 100.000, x = 9091, y=33.333, y/x ≈ 3,66659

Вариантов много. Считаем пока, что никаких требований к f(0) нет. Перемасштабируем наши переменные:
x' = (x − 1)/9
y = 8y' + 2.
Тогда x' и y' будут от 0 до 1, в то время как x и y — 1…10 и 2…10. И тогда варианты.
1. Степенная функция: y' = x'^a, a = 0…1. Если a=½, то квадратный корень, ⅓ — кубический корень…
2. Четвертушка эллипса: y' = sqrt(1 − x'²)
3. Синус: y' = sin((pi/2)·x')

Если же f(0) = 0, то масштабируем по-другому:
x' = x/10
y = 10y'

Самый прикол ряда Тейлора — почему у него такой остаточный член.

У Лагранжа и Коши
Члены очень хороши.
А у Шлёмильха и Роша
Самый, говорят, хороший.

Решим задачу попроще: прикинем на пальцах форму степенного ряда Sum{a_ixⁱ}, который приближает функцию в окрестности x=0.
0-е приближение: f(x) ≈ f(0).
1-е приближение: f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x.

Пока никаких нареканий. Подумаем над вторым приближением.
f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x + ax².
Хотелось бы, чтобы этот многочлен имел такие же производные вплоть до второй, как и функция f. (x²)|_x=0=(x²)'|_x=0=0, с этим никаких проблем. Поскольку (x²)''|_x=0=2, получается, что a=f''(0)/2.

И сразу n-е приближение.
f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x + f''(0)·x²/2 + … + bxⁿ.
И этот многочлен должен иметь такую же n-ю производную, как и функция f. Чему равен (xⁿ)⁽ⁿ⁾|_x=0? Разумеется, n!. Отсюда и коэффициент f⁽ⁿ⁾(0)/n!.

Я плохо понял, что надо сделать. Но попробую.
1. Переведи известный катет в вектор: (X3−X1, Y3−Y1).
2. Поверни его на 90° в нужную сторону. Например, x'=y, y'=−x.
3. Приведи к нужной длине (теорема Пифагора). Получился вектор-катет.
4. Прибавив вектор-катет к вершине (X1, Y1), получаем второй конец.

Как я понял, задача такова. Есть угол, заданный вершиной и двумя точками на сторонах. Найти, куда попадёт биссектриса длины 4.

1. Из координат вершины угла и точек на его сторонах получить векторы-стороны.
2. Привести векторы-стороны к единой длине (например, разделить на длину).
3. Их среднее арифметическое — вектор-биссектриса. Если получился нулевой вектор — векторы-стороны смотрят на 180°, и непонятно, в какую сторону считать нашу биссектрису.
4. Привести вектор-биссектрису к нужной длине (разделив на реальную длину и умножив на требуемую).
5. Отсчитать этот вектор от вершины угла. Получится координата биссектрисы длины 4, отложенной от точки (3, 4).
А математика совсем не высшая :)

Соответствующий кусок статьи Википедии «Деление с остатком» во многом мой, расскажу вкратце.

Когда делитель отрицательный, в моей практике такого не бывало. А когда отрицательное делимое, есть два подхода. Но прежде выясним, что такое неполное частное и что такое остаток.
q = [a / b], r = a − bq.
Когда b>0, есть два подхода к округлению.
1. Неполное частное округляется к нулю, остаток отрицательный.
2. Неполное частное округляется к −∞, остаток положительный.
Оба имеют право на жизнь: первый — когда преобразуем сумму в копейках в рубли-копейки, второй — когда огрубляем координаты, чтобы указать, в какой клетке находится точка.
Можно эти правила расширить и на отрицательный делитель: a mod (−b) = −a mod b. В такой ситуации знак остатка равняется знаку делимого и делителя соответственно.
В x86 (а значит, в большинстве ЯП) принят первый подход. А в Питоне — второй.