Почему в ряде Тейлора есть факториал и выражение в скобках имеет степень?

Question

[Sasha_88]

Просто в описаниях дается формула, а откуда что взялось не понятно. Кто-нибудь может объяснить как эта формула работает? Каждое слагаемое ряда - это постепенное уточнение, это понятно, но детали не ясны.

Когда написал вопрос там было явно больше 15 символов, почему не отправлялось не понятно.

Comments

[Axian Ltd.]

Да, плохо нынче математику преподают - нам показывали связь между функциями, всевозможными рядами и интегралами. Например, как косинус можно представить в виде ряда, интеграла и пр.

[Денис Загаевский]

Формула не взялась ниоткуда, берите нормальные учебники (в гугле найдёте), там всё написано.

Answer 1

[Mercury13]

Самый прикол ряда Тейлора — почему у него такой остаточный член.

У Лагранжа и Коши
Члены очень хороши.
А у Шлёмильха и Роша
Самый, говорят, хороший.

Решим задачу попроще: прикинем на пальцах форму степенного ряда Sum{a_ixⁱ}, который приближает функцию в окрестности x=0.
0-е приближение: f(x) ≈ f(0).
1-е приближение: f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x.

Пока никаких нареканий. Подумаем над вторым приближением.
f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x + ax².
Хотелось бы, чтобы этот многочлен имел такие же производные вплоть до второй, как и функция f. (x²)|_x=0=(x²)'|_x=0=0, с этим никаких проблем. Поскольку (x²)''|_x=0=2, получается, что a=f''(0)/2.

И сразу n-е приближение.
f(x) ≈ f(0) + f'(0)·x + f''(0)·x²/2 + … + bxⁿ.
И этот многочлен должен иметь такую же n-ю производную, как и функция f. Чему равен (xⁿ)⁽ⁿ⁾|_x=0? Разумеется, n!. Отсюда и коэффициент f⁽ⁿ⁾(0)/n!.

Comments

[Sasha_88]

Спасибо за ответы