Какие бывают абсолютные геометрии?

Question

[tomatho]

Есть такой термин: абсолютная геометрия. Это геометрия, удовлетворяющая аксиомам Евклида кроме аксиомы параллельности, или её аналогов.
Интересуют следующие вопросы:

1. Верно ли, что абсолютная геометрия это либо геометрия Лобачевского либо геометрия Евклида. Если так, то где прочесть доказательство?
   
2. Как трактуется аксиома "Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг" в абсолютной геометрии?
   
3. Знаете подробное чтиво на эту тему?
   

Второй вопрос связан с тем, что на странице "Абсолютная Геометрия" в Википедии указано что в абсолютной геометрии нет метрики, в связи с этим не понятно как определить круг.

Answer 1

[Mercury13]

Возможен и такой изврат: в одном месте будут свойства Лобачевского (через точку можно провести кучу прямых, параллельных данной), в другой — Евклида (ровно одну).

Понятие «расстояние» — |AB| — там есть. Нет понятия «движение», и потому круг нарисовать можно, а нарисовать рядом равный ему, чтобы он имел аналогичные свойства, например, такую же площадь — нет.

Comments

[tomatho]

Геометрия Римана не является абсолютной геометрией, насколько мне известно.

Пример где в одном месте свойства Лобачевского, а в другом Евклида - можно?
При этом ваш пример должен быть абсолютной геометрией, иначе это не то, что я спрашиваю.

[Mercury13]

С римановой я ошибся.
Пример: тупо сошьём евклидову полуплоскость и полуплоскость Лобачевского по одной прямой так, чтобы метрики с обеих сторон совпадали.

[tomatho]

Легко сказать. Мне вот непонятно, откуда уверенность, что это можно сделать, и что если метрики на этой прямой будут совпадать, то никакая из 4-х аксиом не поломается.

То, что там есть понятие расстояния, в абсолютной геометрии - пока голословно. Просто, сказали что есть, и всё.

[Mercury13]

tomatho: Равнобедренный треугольник определяется точно так же.
На луче точно так же можно отложить метр.
Главная проблема из всех аксиом — существует единственная прямая AB. Доказать не могу, но интуитивно верно.