Максим Тимофеев

В самом php скрипте неа?
php.net/manual/ru/function.date.php

А где вы увидели кнопку и атрибут disabled?
Вам достался плохой сайт, разработчик которого не понимает чем ссылка отличается от кнопки и зачем нужен каждый из этих элементов.
Поэтому, единственное решение — копаться в обработчиках клика и разбираться, почему оно не нажимается.

Конечно, вероятность есть. Как уже писали, нельзя сравнивать со следующим пустым значением.
Думаю, лучше сделать так:

// Необходимое количество случайных чисел
$limit = 4;
// Максимальное значение случайного числа
$max = 100;
// Массив, в который складываются случайные числа
$numbers = [];

// Запускаем цикл
while(1) {
	// Генерируем случайное число
	$random = rand(1, $max);
	
	// Проверяем, есть ли уже такое число в массиве-результате
	if(!in_array($random, $numbers)) {
		// Если такого числа нет, добавляем его в массив
		$numbers[] = $random;
	}
	
	// Если уже набрали нужное количество чисел - выходим из цикла
	if(count($numbers) == $limit) { 
		break; 
	}
}

var_dump($numbers);

Да, в принципе рассуждения у вас верные.
Вы должны создать действие контроллера на выбор авторов по букве и в ссылке формировать урл к этому действию с ГЕТ параметром - выбранная буква.

echo(' '.'<a href="Url::toRoute(['controller/action', 'char' => $abc[$j]']);">'.$abc[$j].' '.'</a>');

и контроллер

public actionAuthors($char = null) 
{
$model = Authors::find();
if($char) {
$model->where(['like', 'name', '%'.$char, false])
}
return $this->render('view', ['model' => $model]);
}

<div class="fields">
<!-- Здесь будут добавляться поля -->
</div>
<button id="add-field">Добавить поле</button>
<input type="submit" value="Отправить">

$('#add-field').click(function() {
  var new_field = '<input type="text" name="nf[]">';
  $('.fields').append(new_field);
});

$data=$_POST['nf'];
foreach ($data as $item -> $key) {

}

что он делает на странице (кроме анимации)

На клиенте он делает все в пределах api браузера
https://devdocs.io/dom/
https://devdocs.io/dom_events/

Из чего его начать учить ?

https://learn.javascript.ru/js

Возможно начать из популярного Note.js

Нет.

Поскольку у Вас для обоих ссылок одинаковый формат, domain.com/ то нужно самостоятельно определять к чем относиться текущее value. Поэтому у Вас есть следующие варианты:
1. Сделать свое URL правило которое будет по какому-то алгоритму анализировать входящее value и определять какому компоненту системы стоит переадресовать запрос
2. Определить url-правила следующим образом

'/<alias:(admin|firstmodule|secondmodule)>' => '/<alias>',  // в круглых скобках ссылки на корень модуляя
'/<alias>' => 'page/default/index',

Если я не ошибаюсь yii2 ищет правила до первого подходящего, таким образом мы говорим что если value входит в список заданных модулей мы ничего с ним не делаем, а если не входит отправляет запрос в контроллер default модуля page

$query = Model::find()->where('name LIKE :q')->addParams(['q'=>$q . '%'])->orderBy('name ASC')->all();