foreach ($children as $key => $child) {
    $children[$key]['href'] = $this->url->link('product/category', 'path='.
    $this->request->get['path'].'_'.$child['category_id'].$url);
}

или так

foreach ($children as &$child) {
    $child['href'] = $this->url->link('product/category', 'path='.
    $this->request->get['path'].'_'.$child['category_id'].$url);
}

Описание оператора foreach

Да, в принципе рассуждения у вас верные.
Вы должны создать действие контроллера на выбор авторов по букве и в ссылке формировать урл к этому действию с ГЕТ параметром - выбранная буква.

echo(' '.'<a href="Url::toRoute(['controller/action', 'char' => $abc[$j]']);">'.$abc[$j].' '.'</a>');

и контроллер

public actionAuthors($char = null) 
{
$model = Authors::find();
if($char) {
$model->where(['like', 'name', '%'.$char, false])
}
return $this->render('view', ['model' => $model]);
}

Создается экземпляр класса и возвращается результат метода getData() этого класса.