Определиться с тем, какая область больше привлекает, выяснить какие языки программирования в ней в основном применяются, взять учебник для начинающих по одному из этих языков.
Во-первых, web-разработка - это большая область, в разных её частях разные темпы. Во-вторых, везде в ИТ нужно постоянно учиться. В-третьих, при наличии хорошей базы фундаментальных знаний и глубокого понимания предмета, доучивание нюансов не будет требовать сидения за компом 24/7.
Во-первых, ВУЗы дают фундаментальные знания, а не учат программированию на конкретном языке в конкретной сфере разработки. Во-вторых, чтобы стать программистом вообще не обязательно получать высшее образование.
Нужна ли вышка для работы - в подавляющем большинстве случаев нет. Облегчает ли вышка построение успешной карьеры - да. Так что вопрос ваш звучит как "Нужна ли мне бумажка для беспрепятственного продвижения по карьерной лестнице и более лёгкой смены работодателей?"