Исходя из п.4 экраны рабочие и они действительно с интерфейсом I2C. UNO и Nano - это практически одно и то же, только в разном формфакторе, следовательно, должно и с Nano работать с тем же скетчем. Если нано - это действительно нано. Сейчас в этом формате китайцами выпускаются платы с другим микроконтроллером, не ATmega328. Проверьте. Хотя, скорее всего, в этом случае Вы бы и не залили в неё скетч.
После фразы
Подумал дело в проводах, перепаял на медные
понятно, что опыта в пайке и в целом электронике у Вас нет. Так что, скорее всего, проблема где-то здесь. Проверяйте и перепроверяйте правильность и аккуратность сборки. Тщательно отмывайте плату от остатков флюса.
Отдельно можно проверить работает ли на Вашей нано хоть что-нибудь - любой другой скетч без этого экрана? Если есть другое устройство I2C, работает ли с ним?
Но я всё-таки ставлю на некачественную сборку.