$qty = array_map(function($a){
return array_sum(array_column($a['size'], 'qty'));
}, $array['cart']);
print_r($qty);
echo(array_sum($qty));
Т.к. у тебя наверняка в массиве size может содержаться несколько размеров (а раз так то и кол-во под каждый размер разное), то в колбек функции я возвращаю сразу сумму "qty" по каждой из позиции, а потом уже получаю общую сумму
P.S. Функция array_column доступна в пхп >= 5.5.0
Здесь
php.net/manual/en/function.array-column.php в комментариях можно найти "самопис" этой функции