Rsa97

Представляете кружки с числами как элементы массива [0..18]. Можете подписать их на рисунке, чтобы ничего не перепутать. При этом для простоты номера 0, 1 и 2 можно присвоить кружкам с зафиксированными числами.
Составляете 12 формул - сумм по кругам и радиусам, вида
x[0] + x[3] + x[4] + x[5] + x[6] + x[7]
x[1] + x[2] + x[8] + x[9] + x[10] + x[11]
и т.д.
Затем рекурсивно подставляете в массив [3..18] комбинации по 16 чисел из оставшихся 17, вычисляете все суммы и проверяете их на равенство.

Для произвольных (x₁, y₁) и (x₂, y₂), IMHO, только брать все целые значения между x₁ и x₂ и проверять значение y в полученных точках.
Для целочисленных (x₁, y₁) и (x₂, y₂) можно так:
n = НОД(|x₂ − x₁|, |y₂ − y₁|)
dx = (x₂ − x₁) / n
dy = (y₂ − y₁) / n
И взять все пары (x₁ + dx × i, y₁ + dy × i) для i = 1 .. n − 1

Из формул, которые проходят в школьном курсе тригонометрии:
cos(α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
sin(α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ

Никак.
Команда "Архаровцы" из Нижнего Кукуева имеет коэффициент прошлых побед 10.
Команда "Атлетико" из Мадрида имеет коэффициент прошлых побед 8.
Каковы шансы победы архаровцев?

У вас дискретная функция. Соотвественно будет правосторонняя разность:
f'(t_i) = (f(t_i+1) - f(t_i)) / (t_i+1 - t_i+1)
или левосторонняя разность:
f'(t_i) = (f(t_i) - f(t_i-1)) / (t_i - t_i-1)
Можно и двустороннюю разность взять:
f'(t_i) = (f(t_i+1) - f(t_i-1)) / (t_i+1 - t_i-1)

r = (k * x) % 32
k * x = 32 * i + r, i ∈ ℤ_≥0
x = (32 * i + r) / k, i ∈ ℤ_≥0
Про отрицательные i не скажу, там свои приколы для операции mod с отрицательными числами.

Тут отсылка к банальной логике и методике доказательства/опровержения утверждений.
Любое число, в том числе и чётное можно представить как его сумму с нулём
n = n + 0
Поскольку 0 - число чётное, то для n ≠ 0 утверждение выполняется. Для нуля мы можем взять пару ненулевых чётных чисел с разным знаком
0 = n + (-n), n ≠ 0
Таким образом, для нуля утверждение также выполняется, следовательно оно истинно.

1. Взять все слагаемые, где присутствует x² и вынести его за скобки.
2. Решить найденные квадратные уравнение относительно x и y.

P.S. Вариант 2, более сложный: По очереди рассматривая x и y как константы решить квадратные уравнения относительно y и x, соответственно

dx не равен нулю, а стремится к нему. Это значит, что каким бы малым мы ни сделали dx, всегда будет выполняться условие dx > 0.
Возьмите единицу. Разделите её на десять. Потом результат ещё раз на десять, и ещё, и ещё... Сколько бы раз вы ни делили, ноль вы не получите, хотя число с каждым делением будет уменьшаться в десять раз, стремясь таким образом к нулю, но не достигая его.

Возьмём какую-либо функцию, например f(x) = x²
Соответственно f(x+dx) = x²+2·x·dx+dx²
f'(x) = (f(x+dx)-f(x))/(x+dx-x) = (x²+2·x·dx+dx²-x²)/dx = (2·x·dx+dx²)/dx = 2·x+dx
Соответственно, при dx -> 0 получим f'(x) -> 2·x

y(x) = a·x²+b·x+c
Возьмём некую точку x₀ и построим в ней касательную. Она будет иметь вид:
y_k(x) = y'(x₀)·x+d = 2·a·x₀·x+b·x+d
Найдём значения в точке x₀:
y(x₀) = a·x₀²+b·x₀+c
y_k(x₀) = 2·a·x₀²+b·x₀+d
Теперь добавим произвольную положительную величину Δ и найдём значения функций в точке x₀+Δ:
y(x₀+Δ) = a·x₀²+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·x₀+b·Δ+c = y(x₀)+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·Δ
y_k(x₀+Δ) = 2·a·x₀²+2·a·x₀·Δ+b·x₀+b·Δ+d = y_k(x₀)+2·a·x₀·Δ+b·Δ
Учитывая, что y(x₀) = y_k(x₀) найдём разность:
y(x₀+Δ)-y_k(x₀+Δ) = y(x₀)+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·Δ-y_k(x₀)-2·a·x₀·Δ-b·Δ = a·Δ²
Таким образом, знак разности не зависит от знака величины Δ, значит обе части параболы относительно x0 будут лежать по одну сторону (с какой именно стороны - определяется знаком коэффициента a) от касательной в этой точке, значит пересечения нет. При ненулевых a и Δ разность не может равняться нулю, а значит касательная и парабола кроме точки x0 нигде не соприкасаются.

Стандартные символы есть только для округления до целого числа:
⌈x⌉ - округление вверх (ceil)
⌊x⌋ - округление вниз (round)
[x] - округление к ближайшему целому

Выполняйте поворот обоих прямоугольников относительно одной и той же точки плоскости, тогда всё будет вращаться правильно. Поворот на 90° относительно точки (x₀, y₀) задаётся формулами:
x' = x₀ — (y — y₀)
y' = y₀ + (x — x₀)