Как доказать, что не существует трех таких цифр (0-9), сумма квадратов которых равна 172?

Question

[Leevz]

Условия задачи: есть трехзначное натуральное число n, а также функция K(n), которая суммирует квадраты цифр этого числа. Существует ли такое трехзначное число n, значение которого в функции K(n) равно 172 (нужно доказать)?

Answer 1

[Mercury13]

Перебор.
98x — не получается
97x — не получается
96x — не получается
95x — не получается
94x — не получается
93x — x уже великоват

88x — не получается
87x — не получается
86x — не получается
85x — x уже великоват

77x — не получается
76x — x уже великоват
66x — x и подавно великоват

Вариант 2.
172 делится на 4. Любой квадрат делится на 4 с остатком 0 или 1 — потому у нас должны быть три чётных цифры.
Перебор сокращается.

88x — не получается
86x — x уже великоват

66x — x и подавно великоват, дальше перебирать нет смысла.

Comments

[Leevz]

честно говоря, не очень понимаю, что вы делаете. Но это не важно, ведь смысл в том, чтобы обойтись без перебора

UPD:

Любой квадрат делится на 4 с остатком 0 или 1

Это доказанная теорема?

[Mercury13]

(2n)² = 4n² = 4k
(2n+1)² = 4n² + 4n + 1 = 4k + 1
Отсюда — остаток от деления квадрата или 0, или 1.

(4k + [0/1]) + (4m + [0/1]) + (4n + [0/1]) = 4(m+n+k) + [0/1/2/3] = 172 = 4·43.
Чтобы [0/1/2/3] равнялось нулю, надо, чтобы все [0 или 1] были нулями.
Отсюда все цифры чётные.

Пробуем 88x. 172 − 64 − 64 = 44 — не выходит
86x: 172 − 64 − 36 = 72 — больше 8², так что не имеет смысла перебирать 84x, 82x и 80x.

66x: x там даже больше, чем в 88x, так что весь дальнейший перебор не имеет смысла.

[Leevz]

Mercury13, да, думаю это неплохое решение, уже не 899 цифр перебирать, а даже меньше 10

Answer 2

[Rsa97]

Так переберите все числа от 100 до 999 и убедитесь. Или вам нужно именно аналитическое доказательство?

Comments

[Leevz]

да, там где от меня требовали решить эту задачу, не было времени на перебор, да и сам смысл задания в том, чтобы доказать, а не просто перебрать числа. Кстати это одно из последних заданий ЕГЭ

[Mercury13]

Leevz, Я нашёл, как сократить перебор.