Производная по определению это предел отношения прироста значения функции к приросту аргументы при стремлении прироста аргумента к нулю.
Изучил много литературы на эту тему, попытался разобраться досконально с этой производной, знаю определения формулы, понимаю геометрический и физический смысл производной.
Но не понимаю одного, как получается, что отношение чему-то может быть равно. Что значит в данном случае, что предел прироста аргумента равен нулю? Это значит, что мы принимаем его значение равным нулю? (Выражение "бесконечно близко к нулю" я осмыслить тоже не могу).
Раз прирост аргумента стремится к нулю, получается, что прирост значения функции тоже стремится к нулю и по факту получается 0/0 (неопределенность) (Но что такое эта неопределенность я тоже не врубаюсь? Если что, про раскрытии определенности я знаю, но что представляет из себя неопределенность не понимаю). Но высчитывая эту самую производную, можно получить множество разных значений (и 3x, и 6, x2 и т.д), но как это получается, если отношение равно 0/0? По моим представлениям, получается, что dx = 0, dy = 0 и, собственно, отношения никакого быть не может, ибо изменений x и y нет. Но в результате каким-то образом получается значения тангенса угла касательной с положительной осью OX.
Не могли бы вы объяснить это простыми словами, да хоть сложными, но чтобы все это было понятно? Или надо по другому как-то это все осознавать и представлять? Я не понимаю :(
Графический смысл производной - тангенс угла наклона касательной к графику функции (в некоторой точке), - интеграл - площадь под кривой в некоторых границах
Изучил много литературы на эту тему, попытался разобраться досконально с этой производной, знаю определения формулы, понимаю геометрический и физический смысл производной.
Не обманывай себя: если бы ты понимал геометрический смысл производной, у тебя не возникло бы дальнейших вопросов.
Не могли бы вы объяснить это простыми словами
Давай с элементарного геометрического смысла и начнём: пусть у тебя есть график дифференцируемой функции y=f(x), это такая непрерывная линия. А ты -- очень маленький и стоишь на этой линии. y показывает на север, x -- на восток, а линия, например, уходит на северо-восток. Ты настолько маленький, что тебе кажется, что линия вблизи тебя -- прямая. Производная f'(x) говорит тебе, насколько линия наклонена к направлению на восток в точке x. Т.е. если f'(x) = 2 в точке x где ты стоишь, то если ты пройдёшь 1 шаг на восток, нужно будет пройти 2 шага на север, чтобы вернуться на линию.
Все эти "бесконечно малые" можно интерпретировать как "настолько маленькие, чтобы поведение функции заметно не менялось", т.е. что функция "почти прямая" в этом масштабе, и при дальнейшем уменьшении ничего не меняется.
Просто я не понимаю, что значит "настолько маленькие". Какую величину надо считать бесконечно малой? Это же можно сказать и про 0.000001, и про 0.0000000001.
Просто я не понимаю, что значит "настолько маленькие".
"настолько маленькие, чтобы поведение функции заметно не менялось", т.е. что функция "почти прямая" в этом масштабе, и при дальнейшем уменьшении ничего не меняется
IndusDev, Попробуй объяснить, что именно тебе непонятно?
jcmvbkbc, получается, мы делим бесконечно малую величину dy на бесконечно малую величину dx?
Я, в принципе, все понимаю о чем вы говорите, я понимаю, что такое производная и что оно дает. Скорее всего, я не понимаю понятие предела. Мне именно это понять трудно дается. Когда мы рассматриваем геометрический смысл производной, мы работаем с касательной. Но касательная же не проходит через 2 точки (x0 и x0+dx при dx -> 0), не так ли? Мы рассматриваем касательную как прямую, проходящую через одну точку графика в определенной области. Вот что я не могу понять. Мы же в пределе считаем dx за 0, а не за близкое к 0 значение
IndusDev, предел - это, в определенном смысле, условность. Можете представить эту ситуацию с производной так:
касательная проходит через одну точку, но вычисляется ее угол наклона (через тот самый пресловутый тангенс) так, будто там есть две "практически совпадающие" точки, через которые проходит эта прямая. Вот смысл предела и есть в том, что есть некая точка и вторая воображаемая точка, которая стремится с ней совпасть, но не совпадает. Связанное с этим понятием другое понятие - бесконечно малая окрестность точки - тут уже речь об области вокруг нее, которая практически совпадает с ней, но считается, что не совпадает (больше нее на бесконечно малую величину).
Для правильного вопроса надо знать половину ответа
dx не равен нулю, а стремится к нему. Это значит, что каким бы малым мы ни сделали dx, всегда будет выполняться условие dx > 0.
Возьмите единицу. Разделите её на десять. Потом результат ещё раз на десять, и ещё, и ещё... Сколько бы раз вы ни делили, ноль вы не получите, хотя число с каждым делением будет уменьшаться в десять раз, стремясь таким образом к нулю, но не достигая его.
Возьмём какую-либо функцию, например f(x) = x2
Соответственно f(x+dx) = x2+2·x·dx+dx2
f'(x) = (f(x+dx)-f(x))/(x+dx-x) = (x2+2·x·dx+dx2-x2)/dx = (2·x·dx+dx2)/dx = 2·x+dx
Соответственно, при dx -> 0 получим f'(x) -> 2·x
Если почти без формул, а на словах, то отношение - это просто другой термин для деления. В случае производной, это деление величины изменения значения функции на величину изменения аргумента (переменной) функции. Объясняя это физическими терминами, это скорость изменения значения функции при изменении аргумента. При этом, эта скорость записывается в общем виде (как формула, а не как число).
Человек идёт по дороге из точки A в точку B. Расстояние между точками и A и B равно s.
Допустим, человек прошёл это расстояние за 1 час. Следовательно, его средняя скорость равна v = s/t км/ч.
Но человек ведь не шёл всё это время с одинаковой средней скоростью, поэтому его скорость - это функция v(t) = s(t)/t. Где s(t) - это функция изменения пройденного расстояния от времени, а v(t) - это и есть производная s(t).
Можно найти вторую производную функции s(t) - функцию ускорения a(t) = v(t)/t = s(t)/t**2.
А можно найти и третью.
Но для чего это нужно на самом деле?
Для того, чтобы зная v(t) её проинтегрировать и найти s(t), интеграл которой будет работой, выполненной человеком. Таким образом можно узнать, сколько он должен съесть еды, чтобы пройти это расстояние.
