Как доказать количество общих точек касательной и параболой?

Question

[IndusDev]

Есть касательная к графику в виде y = ax^2 + bx + c (парабола).
Как доказать, что касательная к какой-либо точке параболы является единственной точкой пересечения с графиком?
Интуитивно понятно, но как доказать это математически не знаю

Answer 1

[ivkol]

пусть касательная в точке (x0, ax0^2+bx0+c);
уравнение касательной: y - ax0^2+bx0+c = (2ax0+b)(x-x0)
надо доказать что система // y = ax^2 + bx + c и y - ax0^2+bx0+c = (2ax0+b)(x-x0) имеет ед. решение (x0, ax0^2+bx0+c)
подставим y во второе уравнение, приведем подобные: x^2-2xx0+x0^2=0 то есть x=x0 ед решение

Answer 2

[Rsa97]

y(x) = a·x²+b·x+c
Возьмём некую точку x₀ и построим в ней касательную. Она будет иметь вид:
y_k(x) = y'(x₀)·x+d = 2·a·x₀·x+b·x+d
Найдём значения в точке x₀:
y(x₀) = a·x₀²+b·x₀+c
y_k(x₀) = 2·a·x₀²+b·x₀+d
Теперь добавим произвольную положительную величину Δ и найдём значения функций в точке x₀+Δ:
y(x₀+Δ) = a·x₀²+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·x₀+b·Δ+c = y(x₀)+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·Δ
y_k(x₀+Δ) = 2·a·x₀²+2·a·x₀·Δ+b·x₀+b·Δ+d = y_k(x₀)+2·a·x₀·Δ+b·Δ
Учитывая, что y(x₀) = y_k(x₀) найдём разность:
y(x₀+Δ)-y_k(x₀+Δ) = y(x₀)+2·a·x₀·Δ+a·Δ²+b·Δ-y_k(x₀)-2·a·x₀·Δ-b·Δ = a·Δ²
Таким образом, знак разности не зависит от знака величины Δ, значит обе части параболы относительно x0 будут лежать по одну сторону (с какой именно стороны - определяется знаком коэффициента a) от касательной в этой точке, значит пересечения нет. При ненулевых a и Δ разность не может равняться нулю, а значит касательная и парабола кроме точки x0 нигде не соприкасаются.