Кот Абсолютный

Никуда. Outlook заточен под эксч. Если нет эксча, outlook теряет две трети своего функционала и превращается просто в страшненькую программу для чтения почты.
Синхронизация календарей в outlook возможна только через эксч (ну либо другой groupware-сервер с MAPI. Но проблема в том, что MAPI - протокол платный и соответственно сервер будет платным)

Если есть в запасе БП - подкиньте и посмотрите на результат. Если нет - убедитесь, что в районе развязки питания от БП (недалеко от процессорного сокета) нет вздувшихся, перекосившихся или текущих деталей, не пахнет горелым, нет следов КЗ (такие черные пятнышки). Также убедитесь, что сам БП не пахнет горелым во время работы.

На старых недорогих матерях, где еще стоят электролиты, а не твердотельники - они часто текут или вздуваются - это обычная неполадка. С такой либо в СЦ либо мать на замену.

Еще проверьте работу кулеров - они не должны клинить, выть, щелкать. Клинящий или перекошенный кулер не охлаждает достаточно, возникает перегрев, комп зависает...

/etc бэкапить обязательно
/usr/local/etc - если есть
/opt - если есть, просмотреть, может быть придется
/usr - просмотреть внимательно, могут затесаться какие-нибудь изменения, которые потом пропадут
/var - точно так же, хотя обычно у простого юзера все в хомяке, но это зависит от назначения компа и опыта работы в линухе
Ну и для начала - отмонтировать хомяк, создать другого юзера и попробовать с ним. Возможно проблема где-то в настройках KDE.

Насколько трудоёмко будет написать такой почтовый сервер самому?

Простой, обрабатывающий только базовый RFC822 - несложно, но при этом половина привычных фич работать тупо не будет ;) Если же морочится поддержкой всего-всего, что уже напридумывали - нужно прочитать все RFC, которые связаны с темой :)

Какие частые проблемы возникают в эксплуатации готовых решений?

В эксплуатации самих решений, как правило особых проблем нет. Проблемы возникают обычно с анти-(спамом, вирусом, чертом лысым). Шифрование, сертификаты, SPF/DKIM/DMARC etc.

Как скрепные сервисы, почтовые и не только, реагируют на самодельную почту, есть тут какие-то проблемы?

Как человек, много лет содержщий собственную почту (на собственном сервере, стоящем в собственной квартире :) ) скажу, что плевали они на это. Протоколов слава Богу придерживаются - и ладно.

Нужно ли регистрировать домен для своей почты?

Доменное имя? Конечно. И еще белый IP нужен и MX-запись, направляющая на него почту.

Обычные проблемы - это:
- сделать так, чтобы твои письма не уходили в спам
- сделать так, чтобы тебя не задробили спамом
Первое обычно решается через SPF/DKIM/DMARC иже с ними, второе - через greylistng и черные списки

Думаю на python, т.к. самому интересно поковыряться.

Не путайте жабу с мотоциклом. Почтовый сервер - это обычно два независимых компонента - SMTP-сервер (тот, что принимает письма и мира и отправляет их в мир) и IMAP-сервер (тот, что передает почту в почтовый клиент - Thunderbird, Outlook etc). Плюс дополнительные модули. Веб-интерфейс к почте - отдельный продукт, с двумя первыми обычно не связанный (кстати, пишутся сервера обычно на С). Антиспам - это еще отдельный продукт (может быть, если морочиться чем-то типа DSPAM).