Кот Абсолютный

Какие функции стали недоступны

Никакие.

насколько сильно это повлияло на общее использование устройств

Никак не повлияло

Возможно ли регистрировать устройства Synology на территории РФ?

Не знаю, пофиг

Synology - это полка. Полка для хранения данных. И в этой роли она как работала так и работает дальше - не поменялось ничего, потому что у нас она голой #опой в тырнете не торчит. Еще на ней висит видеонаблюдение = как работало, так и работает и частное облако для раздачи файлов партнерам и сотрудникам - тоже никаких изменений.

использовать функционал Synology так же, как это было до 2022 года?

А оно все также и есть - ничего не поменялось.

Здесь надо четко понимать - Synology - это железо + софт, причем платишь ты не за железо - оно там жиииииииденькое, а за оболочку. И нужно четко представлять - что тебе нужно от этой оболочки и нельзя ли это получить через OSS.
Тот же Survelliance можно получить через zoneminder, например, а Cloud - через nextcloud

У нас их четыре штуки, рэковые, на 12 дисков - три и одна на четыре диска

Задача не имеет решения.

Для того, чтобы прослушать файл - его надо скачать. Прослушать, не скачивая невозможно. Вы можете сколько угодно придумывать собственные протоколы, шифрования, обфускацию - но для прослушивания файл нужно будет расшифровать и деобфусцировать.

А что помешает энтузиасту-фанату написать свой плеер с функцией сохранения? Опять же аудиопоток можно банально записать с аудиовыхода - без всяких аудиокабелей - просто включив воспроизведение в колонки и положив рядом телефон :) Да, качества не будет, но обычно когда задумываются о такой вот вещи - качество не нужно, обычно это аудиозаписи "волшебных курсов", там достаточно разборчивого текста.