В чем суть логической ошибки, продемонстрированной в старинном учебнике?

Question

[Xintrea]

Есть такая книга: "Логические ошибки. Как они мешают правильно мыслить" (1958 г.)
https://fil.wikireading.ru/11244

В ней, в самом первом абзаце, написан следующий текст:

На приемных экзаменах по математике в московских вузах многим поступающим предлагался вопрос: «Стороны треугольника 3, 4 и 5, какой это треугольник?» На этот вопрос нетрудно ответить — конечно, треугольник будет прямоугольным. Но почему? Многие экзаменующиеся рассуждали так. Из теоремы Пифагора нам известно, что во всяком прямоугольном треугольнике квадрат одной стороны — гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон — катетов. А здесь как раз имеем 5² = 3² + 4². Значит, из теоремы Пифагора следует, что данный треугольник прямоугольный. Такое рассуждение с точки зрения обычного, так называемого «здравого» смысла кажется убедительным. Но экзаменаторы его забраковали, так как оно содержало грубую логическую ошибку. Одного знания теорем здесь оказалось недостаточно для успешной сдачи экзамена. Экзаменующийся не должен был нарушать ту строгость рассуждений, которая требуется в математике.

Неудача, связанная с подобного рода ошибкой, может постигнуть человека не только на экзамене по математике.

Весь дальнейший текст в этой главе, и другие главы, толком не поясняют, в чем же состоит ошибка абитуриента. Написано только следующее: "Пример с теоремой Пифагора, приведенный в начале брошюры, также не содержит на самом деле той связи между мыслями, которую установил студент".

Какую неправильную связь между какими мыслями установил студент? Я этого не могу понять.

Также, нигде вообще не написано, как должен был бы отвечать абитуриент по мнению автора.

Вопрос: что имел в виду автор? В чем заключается ошибка абитуриента?

Answer 1

[Rsa97]

ЕСЛИ треугольник прямоугольный ТО квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Отсюда не следует, что

ЕСЛИ квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ТО треугольник прямоугольный

Правильное обратное утверждение:

ЕСЛИ квадрат гипотенузы НЕ равен сумме квадратов катетов ТО треугольник НЕ прямоугольный

Простейший аналог:

ЕСЛИ животное это собака ТО у неё четыре лапы ⇏ ЕСЛИ у животного четыре лапы, ТО это собака
ЕСЛИ животное это собака ТО у неё четыре лапы ⇒ ЕСЛИ у животного НЕ четыре лапы, ТО это НЕ собака

Студент должен был доказать, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов только в прямоугольных треугольниках и обосновать утверждение

ЕСЛИ треугольник прямоугольный ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

Answer 2

[Adamos]

Теорема Пифагора утверждает, что для прямоугольных треугольников соблюдается равенство, но не утверждает, что любой треугольник, для которого соблюдается равенство - прямоугольный.
Опущены логические звенья - например, так:
- существует прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5
- стороны данного треугольника равны существующему прямоугольному, значит, эти треугольники подобны, то есть их углы тоже равны
- в этом треугольнике есть прямой угол, значит, он прямоугольный.

Comments

[Rsa97]

Логическая ошибка в первом же пункте. Откуда вам известно, что существует прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5?

[GavriKos]

Rsa97, это египетский треугольник. Нам давали как аксиому и как следствие обратной теоремы Пифагора. Но я понимаю о чем вы в целом, тут чуть вот затруднительно сказать можно ли египетский треугольник использовать как основу логических выводов

[Wataru]

Rsa97,

Откуда вам известно, что существует прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5?

По построению, например. Берем прямоугольный треугольник с двумя катетами 3 и 4. По теоремме пифагора получам гиппотенузу 5.

[Adamos]

Rsa97, а еще можно потребовать доказать, что фигура с тремя сторонами обязательно будет треугольником.
Логика - наука беспощадная ;)

[Rsa97]

Adamos, Если возьмём фигуру, образованную тремя дугами, будет ли она треугольником?

[Adamos]

Rsa97, это смотря от кого возьмем. От Эвклида я бы не советовал, а вот от Лобачевского, импортозамещенное...

Answer 3

[Mercury13]

Теорема Пифагора, но в обратную сторону. Не знаю, как она зовётся.
Если a²+b²=c² при положительных a, b и c, то треугольник прямоугольный.