Как определить по таблице истинности и схеме, какие логические функции присутствуют?

Question

[Carmic Nauka]

Как условно глядя на таблицу истинности и по схеме с мультиплексором, например определить его структуру.
Вот, на этой картинке видно, что есть логическая функция "Или" и Инвертированная "И", а как это можно самостоятельно понять. Нам преподаватель показывал как-то условно, тип закрывая на таблице истинности столбик и спрашивал на какой элемент похоже. И как исходя из таблицы истинности писать уравнение?
 

Answer 1

[atereffigies]

Таблица истинности выражает одну логическую функцию, которую можно описать по-разному (совершенная дезъюнктивная нормальная форма или соврешенная конъюнктивная нормальная форма, например, или их смешные варианты).

Мультиплексором можно описать любую таблицу истинности на n входов, если n -- количество адресных входов мультиплексора (могу рассказать подробнее каким образом, если интересно).

По самой таблице истинности структуру нельзя восстановить, если таблица не описывает какой-либо простейший логический элемент (и, или, не, и-не и т. д.).
Нельзя восстановить структуру по той причине, что одну и ту же логическую функцию можно описать по-разному (как я уже сказал выше СДНФ, СКНФ и т. д.).

Из таблицы истинности можно восстановить её функцию разными методами, один из распространённых и наглядных методов -- картами Карно. На первый взгляд выглядит как чёрная магия, но надо чуточку напрячь мозг -- и всё встаёт на свои места. Если надо, могу объяснить, как им пользоваться.

Comments

[Carmic Nauka]

Мультиплексором можно описать любую таблицу истинности на n входов, если n -- количество адресных входов мультиплексора (могу рассказать подробнее каким образом, если интересно).

По этому поводу вроде как понятно, 2^n, где n как раз таки адресные входы и получаем 8 выходов.

Меня больше интересует, как строить внутреннюю структуру прибора. И как понять что в ней должны присутствовать данные логические элементы.

[Carmic Nauka]

Я просмотрел по этому поводу уже несколько учебников, но везде вижу только результат без какого-либо объяснения. Хотя бы писали, что-то из разряда в данном элементе 00, чтобы его открыть надо подать условно 0 и инвентированную 1.

[Carmic Nauka]

И еще небольшое уточнение, а что значит А с подчеркиванием сверху? Это тип инвентор или нет?

[atereffigies]

IvanNauka, не совсем понимаю суть вопроса)
Вы хотите, чтобы был описан синтез схемы мультиплексора от таблицы истинности до конечной схемы?

[atereffigies]

IvanNauka, подчёркивание сверху -- инверсия сигнала, т. е. логическое "НЕ"

[Carmic Nauka]

atereffigies, Я хочу понять по какому принципу она стоится, почему там логический элемент "И" и "Или", а например не "Или-Не". А второе как писать уравнение по такому принципу:

[Carmic Nauka]

Надеюсь в этот раз правильно задал вопрос, буду очень благодарен если поможете.

[Carmic Nauka]

Чтобы было проще немного, у меня есть такая таблица истинности и по ней нужно написать уравнение:. Я не могу связать ее с тем что выше

[atereffigies]

IvanNauka, в учебнике показана схема согласно логической функции, выведенной в произвольной форме. Т. е. если взять таблицу истинности, составить по ней уравнение, и минимизировать, то в ней будут скорее всего и конъюнкции, и дезъюнкции. А если вы видите схему, которая состоит из элементов ИЛИ-НЕ или И-НЕ, то значит функцию привили к соответствующему базису.
Раньше, лет 20-30 назад, было целесообразно приводить к какому-либо базису, дабы стандартизировать номенклатуру применяемых микросхем, т.к. имея только набор микросхем И-НЕ или И-НЕ, можно реализовать любую логическую функцию.
Сейчас это практически неактуально, т.к. логику обычно делают на ПЛИС.

[atereffigies]

IvanNauka, вот смотрите, D0-D7 -- это выходы демультиплексора.
Демультиплексор передаёт состояние со входа на выбранный выход.
т.е. для каждого выхода вам надо составить своё уравнение.
В данном примере, задача достаточно тривиальна.
Так, например, выход D0 будет иметь функцию D0 = !A2 * !A1 * !A0.
Здесь я использую знак "!" как отрицание и "*" как логическое И.
Функция же выводится из соображения того, что выражение должно быть истинным.
Т. е. выход D0 демультиплексора будет активен тогда, когда будет истинным выражение !A2 * !A1 * !A0, иными словами, когда !A2 * !A1 * !A0 будет равно единице.
По аналогии будут и другие уравнения:
D1 = !A2 * !A1 * A0;
D2 = !A2 * A1 * !A0;
D3 = !A2 * A1 * A0;
и так далее)

Answer 2

[Василий Банников]

И как исходя из таблицы истинности писать уравнение?

Ну просто пишешь уравнение, пока все условия не пройдут.
Можно тупо каждую строку таблицы превратить в подвыражение.
Вот пример, который я только что придумал:

A B C R
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1

Это всё в итоге превращается в примерно такое уравнение (берём все сочетания, которые в результате дают истину)

R = (A & !B & C) | (A & !B & !C) | (!A & B & C) | (!A & !B & C) | (!A & !B & !C)

Остаётся упростить:
R = A & !B | !A & ((B & C) | !B )

Comments

[Сергей Сергей]

Тут выносить за скобки надо, а не раскрывать, же.

[Василий Банников]

Сергей Сергей, ну если так, то выносить.
Забыл всю школьную программу по математике/информатике уже.