Roman Sokolov

потому что в асинхронном режиме статус на момент его проверки еще не установлен.
Необходимо подписаться на событие `readystatechange`, что бы обработать результат запроса

Вешаете обработчик клика на smth-tag, передаёте в него id выбранного элемента, и группу к которой элемент принадлежит, устанавливаете selectedTagId. Всё.

UPD. Вынесено из комментариев:

А как это сделать из компонента, а не из корневого экземпляра VUE?

Никак, это абсурд. То есть, можно конечно из дочернего компонента постучаться в $root / $parent и что-то там поменять, но делать такого НЕ НАДО. Данные лежат в корневом компоненте - вот там их и меняйте.

Или вы имели в виду отправку события из дочернего компонента? Пробросить событие через smth-group не выйдет, т.к. слотам нельзя назначать обработчики событий. Остаётся вариант с шиной событий (ну и vuex ещё), но в общем случае - сделать всё равно не получится, так как smth-tag не знает к какой группе принадлежат его данные (однако, если гарантируется, что id уникальны не только в пределах группы, а вообще - тогда можно, например так).