Коротко - быстро и дёшево - никак.
Менее коротко - наймите профессионала/профессионалов, которые этим занимаются (мы, например, занимаемся). Я серьёзно. Это самый эффективный метод (и по деньгам, и по времени и по нервам), если только вы сами лично не планируете освоить профессию бизнес-аналитика.
Более подробно
Если вы попросите разных людей пробежать марафон - люди назовут разное время и разную стоимость. Никакой "правильной" оценки по срокам и бюджету в реальности не существует.
Или другой пример. Гораздо более простой по сравнению с (почти) любым ИТ проектом продукт - хлеб, который выпускается массово и опыт его создания у человечества - тысячелетний, если не больше. Так вот 1) один и тот же хлеб в разных магазинах стоит по разному 2) всяких хлебов в магазине десятки 3) разные люди его согласятся делать за разные деньги и сроки.
Что делать
Никаких волшебных методик нет. Ваша задача требует кучи работы так или иначе. Создать Техническое Задание и оценить его, тем более по каждой фиче - это куча работы для высококвалифицированного и опытного (а значит дорогого) специалиста.
1. Определитесь, с кем будете работать. Это должно не сильно зависеть от денег (в т.ч. потому что у вас ещё нет оценок), а больше от того, насколько вы доверяете друг другу, насколько вы сработались, и вам комфортно работать вместе. (Отсутствие доверия или несовместимость методов работы - слишком большой риск провала проекта, мы к примеру за такие проекты даже не берёмся).
2. Сядьте вместе с исполнителями или его представителем и разбейте проект на фичи, можно довольно грубо. Т.е. составьте нумерованый список всех фич. В экселе или гугл таблицах.
3. Исполнитель их оценит, проставит свои оценки в соседних колонках. Оценки тоже будут довольно грубые. По деньгам и срокам скажем. Т.е. этот список отдаёте команде исполнителя, команда оценивает. Это может занять часы или дни (для проекта в 2 месяца). Понятно, что фичи могут быть взаимосвязаны, оценки тоже и т.д. Это держим в уме (в очевидных случаях) или делаем пометки о зависимостях рядом в колонке (в неочевидных).
4. После этого вы смотрите на оценки и решаете что делать, а что нет.
5. С теми фичами, что вы решили оставить, работаете более подробно. Пишете более подробную спецификацию, делаются проверки, оценки корректируются, план работ ещё раз уточняется и т.д.
Вот примерно так. Это общий принцип. Т.е. сначала оцениваете грубо, чтобы не тратить времени, затем те фичи, которые влезают в бюджет и сроки, оцениваете более точно. Это экономит время и деньги. Вам советовали написать сразу как можно более точное ТЗ - это не самый эффективный вариант. Вы потратите время на детальное продумывание и описание того, что в проект не войдёт.
Если вы этого ни разу не делали, будет много подводных камней, больших и малых, факапов серьёзных и не очень. Но этому не научиться на Тостере или в книжках, только опыт.
Дальше вы начнёте делать проект, и что-то пойдёт не по плану, поэтому нужно будет работать с Измненениями в Проекте и корректировать план работ уже по ходу. Но это несколько другая история.