Изначально пал выбор на техподдержку как на старт в IT
Тех. поддержка может и часть IT, только кто сказал, что вы пройдете в кухню разработки дальше складского помещения?
пол года работы, выгорание, новых навыков не прибавилось
У работодателя нет цели давать вам новые навыки, для него важно, чтобы освоили только те, которые необходимы для поддержания текущего процесса.
Также в своем городе предложили пойти на оплачиваемую стажировку Веб мастером
Если можете пообщаться до начала стажировки с людьми, которые уже там, то узнайте какие условия работы. Если не обман, то пробуйте.
Так как на данный момент совсем нет времени на обучение
Это ваши проблемы. Не спите ночами, но штудируйте то, что требуется для базовых знаний разработчика, и то, что требуется, чтобы пройти собеседование.
Резюмируя. Если вы хотите стать разработчиком, то вы должны вырывать зубами время для обучения, чувствовать курс изменения своих навыков в нужную сторону. Не бояться ходить на собеседования на вакансии разработчика (не на 1, 2, а на десяток), и не бояться потерять текущую работу, если душно.