Посмотрите в сторону tailwind это его идеология.
В обычном проекте можно использовать классы из atomic css и дописывать к основным.
В атрибуте style стили добавляются только динамически, из js, для анимации и тд
Как 2 разных сайта.
Для запуска лары надо направить все запросы на файл /public/index.php. Статику в папке public сервер отдает самостоятельно.
Для накста сервер все запросы проксирует на 3000 порт. Сам накст запускается в prod режиме командой npm run build. (через pm2, чтобы было удобнее мониторить процесс) Папка output вам не нужна.
Нужен компонент модалки, где инкапсулированы все методы.
Посмотрите как в бутстрапе сделано, там для открытия дергается метод дочернего компонента из родителя. Или второй способ, через v-model. Люди в индустрии привыкли +- к такому внешнему интерфейсу модалки. https://bootstrap-vue.org/docs/components/modal
https://jino.ru/vps/