Rsa97

Рассмотрим дроби - слагаемые данной суммы. Очевидно, что знаменатели могут меняться от 2 до 2k.
Попробуем определить, какие числители будут в дробях со знаменателем n. Для этого нам надо разложить n на пары x и y всеми возможными способами, учитывая ограничения 1 ≤ x ≤ k, 1 ≤ y ≤ k и взять допустимые значения x.
Если 2 ≤ n ≤ k, то допустимыми значениями x будут 1 ... n-1. Для k+1 ≤ n ≤ 2k допустимыми значениями x будут n-k ... k. Таким образом, мы можем записать сумму числителей для каждого знаменателя:

Теперь, с учётом полученной системы запишем, как будет выглядеть полная сумма всех дробей:

Заметим, что если в первой сумме начать суммирование не с 2, а с 1, то сумма не изменится, поскольку добавленное слагаемое равняется нулю. Во второй сумме перенесём k из пределов суммирования в слагаемое. Получим две суммы с одинаковыми пределами, а значит их можно объединить в одну:

2 = 2¹
3 = 3¹
4 = 2²
5 = 5¹
6 = 2¹·3¹
7 = 7¹
8 = 2³
9 = 3²
10 = 2¹·5¹
11 = 11¹
12 = 2²·3¹
13 = 13¹
14 = 2¹·7¹
15 = 3¹·5¹
16 = 2⁴
17 = 17¹
18 = 2¹·3²
19 = 19¹
20 = 2²·5¹

2·x + 3·y - z = 0
4·x + 6·y -2·z = 0
3·x - y + 2·z = 0

Определитель равен нулю. Приводим методом Гаусса.

x + 3/2·y - 1/2·z = 0
0 = 0
- 11/2·y + 7/2·z = 0

Упрощаем

y = 7/11·z
x = -5/11·z

Преобразуем ваши условия

x + y + z = -5/11·z + 7/11·z + z  = 13/11·z <= 1
x + y + z = 13/11·z -> max

Очевидно, что максимум будет при z = 11/13. При этом x = -5/13, y = 7/13.