Mercury13

1. Умножим наш point на r.
2. Повернём (rx, ry, 1) так, чтобы (0,0,1) → d. Ищите эту матрицу где-то в движке: вы имитируете разброс оружия — так что это будет матрица поворотов камеры. Если прицел не в центре экрана (бывает для всяких там гранатомётов) — применяем ту же самую поправку. Если видовая матрица и матрица наводки развязаны (бывает в сетевой игре) — то брать матрицу наводки, понятно.
3. Снова нормализуем.

Обозначим обратный через x*, так писать проще.

Берём элемент h∈H, ≠1 и другой g∉H, ≠1. Заметим, что:
• h*∈H, ≠1, а g*∉H, ≠1
• gh, hg, g*h и т.д. в любых сочетаниях ≠1.

Вариант первый. x=gh∈H. Множим справа на h*, и получаем xh* = ghh* = g. Слева штуки из H, справа нет — H не замкнута.

Вариант второй. x=gh∉H. Множим слева на g*, и получаем g*x = g*gh = h. Слева штуки из нашей подгруппы (G \ H) ∪ {1}, справа нет. Так что подгруппа явно не замкнута.

Для полугрупп с единицей, о которых ты пытался говорить, это НЕ ТАК. Как известно, у любой конечной полугруппы есть идемпотент — тем лучше. Пусть G = B², H={00, 10}, операция — побитовое ИЛИ, E=00. Тогда множество (G\H)∪E={00,01,11} явно замкнуто относительно ИЛИ. (Я пытался вводить ажурные B и единицу, а система стирает.)

Всё крайне просто.
Потому что, начиная с рационального числа и проводя четыре арифметических действия, +−×: , мы будем оставаться в поле рациональных чисел. А корень в большинстве случаев иррациональный.
Мы можем получить лишь рациональное число, достаточно близкое к нашему корню.
И все «нормальные» методы вычисления корня работают так: если ещё немного повычислять, можно получить более точный корень. То есть итерационные.

Пример НЕитерационного метода предложили Ын, Уолш и Таролли, но более он известен по игре Quake III: придумать приближение логарифма, разделить на 2 и обратить это самое приближение. Но этот метод не масштабируем: если точности не хватает, придётся брать в руки какой-нибудь метод Ньютона и дотягивать точность. Ну или придумывать более точное приближение логарифма — исходное было всего лишь прочтением компьютерного дробного как целого числа. То есть придётся рубить его на мантиссу и порядок, порядок брать как есть, а мантиссу преобразовывать каким-то многочленом (если читать дробное как целое, то наш многочлен — банальная линейная функция, log₂(1+x)≈x).

А лучше порядок превратить в несмещённый, поделить надвое, вернуть опять к смещённому, и остаётся только найти приближение — многочленом или таблицей — для x∈[1,4).

Другой НЕитерационный алгоритм — банальная таблица. Каким-то раком предвычислить таблицу, а то, что в таблицу не попадает, приблизить любым доступным методом, да хоть линейной интерполяцией или многочленами Эрмита.

Откуда начинается вектор?
Если вектор AB и точка C, то расстояние — это ортогональная СОСТАВЛЯЮЩАЯ |AC×AB| / ||AC||·||AB||.
a×b — это косое произведение векторов ax·by−ay·bx. В 2D это скаляр. Если убрать модуль в числителе, получится знаковое расстояние — плюс с одной стороны и минус с другой.
||a|| — длина вектора sqrt(ax²+ay²). Если есть функция hypot, используй её.

Всё точно так же. Считаем, что φ от −π/2 до π/2!!!!
F_x(u) = p{x < u} = p{h tg φ < u} = p{φ < arctg(u/h)} = F_φ(arctg(u/h))

Соответственно, в твоём случае φ от 0 до π, при непрерывном распределении:
F_x(u) = p{x < u} = p{h ctg φ < u} = [арккотангенс убывает, меняется знак!!] = p{φ > arcctg(u/h)} = 1−F_φ(arcctg(u/h))

Лучше брать arcctg(x/h), чем arctg(h/x) — не нужно делать скидку на то, что мы сидим на двух стульях кусках ОДЗ.

L → EZUU M ZUUUUF
M → ZUU M ZUUUU | S
Для S грамматику вы уже придумали.
Затем — не буду расписывать, они многословны, но просты — UZ → ZU

А чтобы превратить Z в 0 и U в единицу, если i,n ∊ N+…
Сделаем затравку…
EZ → E0
Ua → 1a
cZ → c0
UF → 1F
…Уничтожим технические нетерминалы…
E0 → 0
1F → 1
…И проведём волну!
0Z → 00
U1 → 11

Вроде так.
(Z = zero, U = unit)

Это называется кластеризация, и самый ходовой метод для неё — K-means.

Калькулятор Windows использует компьютерный double для трансцендентных операций, и (как, впрочем, и электронные калькуляторы) самописную десятичную арифметику для сложения/вычитания/умножения/деления. Ну и хорошо — про артефакты компьютерных (двоичных) дробных рассказывать не придётся.
Возьми и округли в десятичной системе 0,5555555555555… — разумеется, будет 0,556. Или 0,5555556 — всё зависит от того, сколько разрядов хочешь оставить.

U=(A,B) — перпендикулярный вектор прямой.
Тогда dC = Pr_UV·|U| = U·V
Всего лишь скалярное произведение.
Проверка. x + y = 0, U=(1,1), V = (1,2)
dC = 1·1 + 1·2 = 3, правильно?

А арктангенс надо брать arctg((200−100)/(200−100))
Кроме того, для этого есть функция atan2, определённая для всех x и y, одновременно не равных 0.

Пусть минимальный простой делитель a.
Тогда минимальный делитель a (будь мин.делитель составной — нашёлся бы меньший), максимальный — x/a (по сходной причине), x=91·a².
Кроме того, 91 = 7·13, и потому a <= 7.
2²·91 и 3²·91 до четырёхзначного явно не дотягивают.
А вот следующее — a=5 — даёт 2275 = 5²·7·13.
Также должно подойти a=7, x=7³·13=4459.
(Раз тут математика, часто запрещён даже калькулятор, потому попытался написать так, как думал бы человек без калькулятора)

Вам уже подсказали общие способы. Теперь специализированные.
Точка гарантированно в охватывающем прямоугольнике. Мы получаем уравнения прямых и смотрим, с какой стороны. Проще всего это делать через косое произведение векторов — AX×AB <> 0, или
(x − xA)(yB − yA) − (xB − xA)(y − yA) <> 0