Как доказать, что если множество (G \ H) ∪ {1} — подгруппа G, то либо H = {1}, либо H = G?

Question

[Sunter]

Условие: Пусть H — подгруппа группы G. Доказать, что если множество (G \ H) ∪ {1} — подгруппа G, то либо H = {1}
, либо H = G.
Есть такое доказательство, но не уверен в нем
Предположим, что множество (G \ H) ∪ 1 является подгруппой G, но при этом H ≠ 1 и H ≠ G.
Так как H ≠ 1, то существует элемент h из H, отличный от единицы. Так как H ≠ G, то существует элемент g из G, который не принадлежит H.
Рассмотрим произведение элементов g и h: gh. Поскольку группа G замкнута относительно операции умножения, то gh также должен принадлежать группе G.
Так как g не принадлежит H, а h принадлежит H, то gh не может принадлежать множеству H. Следовательно, gh принадлежит множеству G \ H.
Так как (G \ H) ∪ 1 является подгруппой G, то gh также должен принадлежать этому множеству. Но мы уже показали, что gh принадлежит множеству G \ H и не принадлежит множеству H.
Следовательно, либо H = 1, либо H = G.

Comments

[hint000]

Есть такое доказательство, но не уверен в нем

Непонятен переход от предпоследнего предложения к последнему. Хотели прийти к противоречию, но не вижу противоречия.

[Mercury13]

У вас очень непонятный переход: g∉H, h∈H ⇒ gh∉H.
И нигде не применяется, что это группа, а не ПОЛУгруппа с единицей.

Answer 1

[Mercury13]

Обозначим обратный через x*, так писать проще.

Берём элемент h∈H, ≠1 и другой g∉H, ≠1. Заметим, что:
• h*∈H, ≠1, а g*∉H, ≠1
• gh, hg, g*h и т.д. в любых сочетаниях ≠1.

Вариант первый. x=gh∈H. Множим справа на h*, и получаем xh* = ghh* = g. Слева штуки из H, справа нет — H не замкнута.

Вариант второй. x=gh∉H. Множим слева на g*, и получаем g*x = g*gh = h. Слева штуки из нашей подгруппы (G \ H) ∪ {1}, справа нет. Так что подгруппа явно не замкнута.

Для полугрупп с единицей, о которых ты пытался говорить, это НЕ ТАК. Как известно, у любой конечной полугруппы есть идемпотент — тем лучше. Пусть G = B², H={00, 10}, операция — побитовое ИЛИ, E=00. Тогда множество (G\H)∪E={00,01,11} явно замкнуто относительно ИЛИ. (Я пытался вводить ажурные B и единицу, а система стирает.)