Может ли быть общая точка у стягивающейся системы интервалов?

Question

[Vladyslav GmGameFilm]

Прошу помочь мне понять суть стягивающейся системы интервалов. Я понимаю почему у стягивающейся системы отрезков есть общая точка. Также я верю что понимаю почему (0; 1/n), где n — пробегает натуральные числа, не имеет общей точки. Но, система (-1/n; 1/n) же имеет общую точку 0? Верно? Если нет, то почему? И если да, значит стягивающейся система интервалов все таки может иметь общую точку в некоторых частных случаях?

Comments

[Lynn «Кофеман»]

Непонятно в чём вопрос.

Вы сами же привели оба примера, когда есть общая точки и когда её нет.

[Vladyslav GmGameFilm]

Lynn «Кофеман», тоесть я прав что стягивающаяся система (-1/n; 1/n) имеет общую точку 0? Когда я изучал эту тему у учителя и в книгах, мне сказали что системы с интервалами вообще никогда не имеют общей точки

[Lynn «Кофеман»]

Vladyslav GmGameFilm, глупость они сказали. Или вы их неправильно поняли.
Скорее всего там было сказано что в системе интервалов может не быть общей точки, в отличии от системы отрезков.

[Vladyslav GmGameFilm]

Lynn «Кофеман», cпасибо большое

Answer 1

[Сергей Соловьев]

Ответ в том, что ты используешь интервалы, а не отрезки.

Концы (-1/n; 1/n) при n стремящемся к бесконечности равны 0, т.е. стремятся, но не равны. Из этого заключаем, что как минимум 0, но всегда есть у них.

С другой стороны, (0; 1/n) не имеет общих точек, т.к. это интервал и 0 НЕ ВХОДИТ в него. Тут также 1/n стремится к 0, но т.к. сам 0 мы взять уже не можем, то всегда найдется такая точка, начиная с которой она уже не будет принадлежать интервалу (при возврастающем n)

Answer 2

[Mercury13]

Условие, когда имеет общую точку: последовательности a[n] и b[n] нестационарны: для любого a[n] найдётся другое a[N] большее, для b[n] аналогично меньшее.
НЕОБХОДИМОСТЬ: они имеют общую точку — это значит, что общая точка x = lim a[n] > всех a[n], и меньше всех b[n].
ДОСТАТОЧНОСТЬ: для каждого (a[n], b[n])⊃[a[N], b[N′]], и дальше теорема о вложенных отрезках.
Для стационарной последовательности такого не будет — при достаточно большом n как минимум точка a[n] не будет принадлежать интервалу и будет принадлежать отрезку.