Может ли быть общая точка у стягивающейся системы интервалов?

Question

[Vladyslav GmGameFilm]

Прошу помочь мне понять суть стягивающейся системы интервалов. Я понимаю почему у стягивающейся системы отрезков есть общая точка. Также я верю что понимаю почему (0; 1/n), где n — пробегает натуральные числа, не имеет общей точки. Но, система (-1/n; 1/n) же имеет общую точку 0? Верно? Если нет, то почему? И если да, значит стягивающейся система интервалов все таки может иметь общую точку в некоторых частных случаях?

Comments

[Lynn «Кофеман»]

Непонятно в чём вопрос.

Вы сами же привели оба примера, когда есть общая точки и когда её нет.

[Vladyslav GmGameFilm]

Lynn «Кофеман», тоесть я прав что стягивающаяся система (-1/n; 1/n) имеет общую точку 0? Когда я изучал эту тему у учителя и в книгах, мне сказали что системы с интервалами вообще никогда не имеют общей точки

[Lynn «Кофеман»]

Vladyslav GmGameFilm, глупость они сказали. Или вы их неправильно поняли.
Скорее всего там было сказано что в системе интервалов может не быть общей точки, в отличии от системы отрезков.

[Vladyslav GmGameFilm]

Lynn «Кофеман», cпасибо большое

Answer 1

[Сергей Соловьев]

Ответ в том, что ты используешь интервалы, а не отрезки.

Концы (-1/n; 1/n) при n стремящемся к бесконечности равны 0, т.е. стремятся, но не равны. Из этого заключаем, что как минимум 0, но всегда есть у них.

С другой стороны, (0; 1/n) не имеет общих точек, т.к. это интервал и 0 НЕ ВХОДИТ в него. Тут также 1/n стремится к 0, но т.к. сам 0 мы взять уже не можем, то всегда найдется такая точка, начиная с которой она уже не будет принадлежать интервалу (при возврастающем n)

Answer 2

[Mercury13]

Условие, когда имеет общую точку: последовательности a[n] и b[n] нестационарны: для любого a[n] найдётся другое a[N] большее, для b[n] аналогично меньшее.
НЕОБХОДИМОСТЬ: они имеют общую точку — это значит, что общая точка x = lim a[n] > всех a[n], и меньше всех b[n].
ДОСТАТОЧНОСТЬ: для каждого (a[n], b[n])⊃[a[N], b[N′]], и дальше теорема о вложенных отрезках.
Для стационарной последовательности такого не будет — при достаточно большом n как минимум точка a[n] не будет принадлежать интервалу и будет принадлежать отрезку.

Answer 3

[MrOrkk]

Точка x принадлежит интервалу (a;b) равносильно a < x < b (строго, в отличие от отрезка)
Последовательность (0;1/n) не имеет общих точек т.к. для любого положительного x(необходимое условие общей точки) существует n начиная с которого 1/N<= x, ч.т.д. Для последовательности (-1/n; 1/n) для 0 и любого n:1/n<0<1/n, следовательно 0 - общая точка. Таким образом вы правы, система интервалов может иметь общую точку в частных случаях, для более глубокого анализа:
В случае стягивающихся отрезков имеем для левых границ существует верхняя граница (правая граница любого отрезка)=> существует минимальная верхняя граница(b), аналогично существует максимальная нижняя граница для правых границ(a), очевидно, что b>=a, (иначе начиная с какого-то номера левые границы будут больше всех правых границ, что противоречит определению системы вложенных отрезков) если b>a, то в качестве общей точки подойдёт очевидно, любое число из [a;b], если нет, то подойдёт число a, оно же b(проверьте!), таким образом, для вложенных отрезков всегда существует общая точка.
Доказательство для интервалов верно ДО b>=a (если считать правые и левые границы интервала (a;b), числа b и a соответственно).
Однако если b>a, существуют 4 случая: начиная с какого-то n все левые границы равны a или ни для какого - не равны(т.е. строго меньше) и тогда в качестве общей точки подойдут все точки начиная с a (не включительно или включительно соответственно ) и до b, аналогично (включительно или нет)(проверьте!)
Если же b=a, аналогично, если начиная с какого-то n все левые границы равны a, то никакая правая не равна b (иначе противоречие с определением вложенных отрезков) и тогда для любого числа x>b(необходимое условие для общей точки) найдется n начиная с которого все правые границы>=x (из определения минимальной верхней границы и условия, что a=b), случай если начиная с какого-то номера все правые границы равны b, рассматриваются аналогично, следовательно тогда система вложенных отрезков не имеет общих точек.
Если ни для какого n левые границы не равны a и правые не равны b, т.е. меньше и больше соответственно, то в качестве общей точки подойдёт число a, оно же b (проверьте!).
Таким образом можно ещё раз рассмотреть примеры, используя полученные знания:
(-1/n;1/n) - минимальная верхняя и максимальная нижняя границы очевидно, 0 и притом никакие левые границы не равны 0 и правые не равны 0, следовательно 0 - общая точка
(0;1/n) Также границы 0, но все левые границы равны 0 для любого n, следовательно общих точек нет.