Как найти координаты точек на дуге зная координаты точек хорды?

Question

[Александр Макаров]

Добрый день друзья!
Помогите решить такую задачу. Есть координаты точек отрезка АВ, через который проходит окружность, то есть по сути это координаты хорды. Знаем также радиус окружности R. Как найти координаты промежуточных точек на дуге, которые делят дугу на 1/4, 1/2 и 3/4?
Заранее спасибо!

Answer 1

[Mercury13]

По теореме Пифагора находим расстояние от центра до хорды: d = sqrt(R² − [(x2−x1)² + (y2−y1)²]/4).
Находим середину отрезка AB (назовём её (x3, y3)). Находим направляющий вектор отрезка AB (x4,y4) = ((x2−x1)/|AB|, (y2−y1)/|AB|), и есть два варианта центра — (x0,y0) = (x3±d·y4, y3∓d·x4).
А дальше через atan2 получаем углы, упорядочиваем их и через углы получаем сколько угодно точек.

Comments

[Александр Макаров]

Добрый день, спасибо за ответ.
Допустим, есть точки А(15,5), В(190,40) и радиус 300.
Тогда d = sqrt(300^2 - (190 - 15)^2 - (40 - 5)^2) = 241
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 - 15)/2, (40 - 5)/2) = (87.5, 17.5)
|AB| = sqrt((190 - 15)^2 + (40 - 5)^2) = 178.5
Тогда направляющий вектор (x4, y4) = ((190 - 15)/178.5, (40 - 5)/178.5) = (0.98, 0.2)
Возьмем один вариант центра (x0, y0) = (87.5 + 241 * 0.2, 17.5 - 241 * 0.98) = (135.7, -218.7)

А что дальше, не понимаю. Подскажите плиз.

[Mercury13]

Александр Макаров, Я тут ошибся слегка, и d = sqrt(300^2 − [(190 − 15)^2 + (40 − 5)^2] / 4) ≈ 286,4.
Если надо считать на бумаге, а не на компе — то средняя точка (x0∓R·y4, y0±R·x4).
А дальше уже считайте биссектрисы.

[Александр Макаров]

Mercury13, Можете дорешать уже эту задачу, чтобы я понял принцип?

[Mercury13]

Александр Макаров, Ночью.

[Mercury13]

Александр Макаров, Под бумагу считать или под компьютер?

[Александр Макаров]

Mercury13, Под компьютер. Спасибо.

[Mercury13]

Итак, я уже записал, что d ≈ 286,4.
Середина отрезка (x3, y3) = ((190 + 15)/2, (40 + 5)/2) = (102,5, 22,5)
|AB| = sqrt((190 − 15)² + (40 − 5)²) = 178,5

КОНТРОЛЬ: 286,4² + 178,5²/4 = 300,0

(x4, y4) = (0,980, 0,196).
(x0, y0) = (102,5 + 286,4·0,196; 22,5 − 286,4·0,980) = (158,7, −258,1)

КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(15 − 158,7)² + (5 + 258,1)² ≈ 299,8²
(190 − 158,7)² + (40 + 258,1)² ≈ 299,7²

Поскольку мы пошли вправо (в распространённой в математике правой системе координат; в компьютерах чаще используют левую) от вектора AB и нам нужна меньшая из двух дуг, в порядке увеличения полярного угла будет сначала B, потом A. (Пошли бы влево — было бы наоборот.) Радиус-векторы:
OB = (190 − 158,7; 40 + 258,1) = (31,3; 298,1)
OA = (15 − 158,7; 5 + 258,1) = (−143,7; 263,1)
atan2 соответствующих векторов: 84,0° и 118,6°. (Простите, считаю на эмуляторе МК-61, так что пусть будет в градусах.) Никакого упорядочивания не требуется. Разница 34,6°.
Промежуточные углы: 92,65°; 101,3°; 109,95°.

Возьмём, например, первую точку:
(158,7 + 300·cos 92,65°; −258,1 + 300·sin 92,65°) = (144,8, 41,6).

КОНТРОЛЬ: расстояние между точками:
(144,8 − 158,7)² + (41,6 + 258,1)² ≈ 300,0²

Дальше, думаю, понятно?

[Mercury13]

Как упорядочивать углы: если один угол, например, 150°, а второй −120°, добавляем к одному 360°, и получаем 150° и 240°.

[Mercury13]

atan2 — функция от двух переменных, определённая для всех ненулевых векторов (x, y) и дающая угол вектора в диапазоне ±180°. Обычно представляет собой сшивку арктангенсов и арккотангенсов.

[Mercury13]

Контроль — хорошая штука. Понадеялся на ваши расчёты — не сошёлся контроль. А у вас середина отрезка неправильная.

[Александр Макаров]

Ну да, с серединой отрезка ступил.
Спасибо, вроде понятно, буду пробовать.

Answer 2

[Александр]

Надо найти угол сектора для этих точек(начальный-конечный):
x = r*cos(fi)
y = r*sin(fi)
поделить его как надо и найти координаты точек
подразумевается что центр окружности в нулевых координатах.

Answer 3

[Сергей Соколов]

1. найти координаты центра (центр может быть как по одну, так и по другую сторону отрезка)
   
2. найти угол от оси X к точке А
   
3. найти угол от оси X к точке B
   
4. найти угол от оси X к искомой точке на дуге.
   Длина дуги пропорциональна углу. Поэтому 1/2 длины находится на 1/2 угла: угол_к_В + (угол_к_А - угол_к_В) / 2
   
5. найти координаты точки, исходя из центра, угла и радиуса
   

картинка