spoilerНебольшая вводная. Под регистрацией домена обычно подразумевается свой адрес сайта. Но технически так говорить нельзя. В адресе сайта используется доменное имя, например, www.example.com, а словом домен обозначается каждая из частей доменного имени, то есть отдельно www, example и com. Но далее я отвечу на вашем языке.
Собственный домен зарегистрировать невозможно, потому что домен не выдается в собственность. Его можно только
арендовать, при этом формально принадлежать он будет не вам. Тем не менее, вы сможете им пользоваться.
spoilerЕсли вы хотите считать домен собственным, даже если у вас его могут отобрать при несоблюдении вами условий, то можете считать его своим, как и какую-нибудь арендованную квартиру, которая по всем признакам является вашей, но формально вам не принадлежит.
Зарегистрировать можно даже бесплатно у соответствующего
регистратора, который позволяет это сделать.
Главное помните, что если вовремя не продлить домен (и не важно платный или бесплатный), то он освобождается, и кто угодно другой сможет переписать его на своё имя и пользоваться по своему усмотрению.
P.S. Чтобы лучше понимать тему, почитайте
про домены вообще.