Публикация переписки — можно ли, или нужно спрашивать согласия?
Да, саму переписку можно, но в некоторых случаях некоторые данные содержащиеся в этой переписке нельзя публиковать.
Вот если вы будучи администратором сайта получите доступ к приватным сообщениям и прочитаете их, даже публиковать не обязательно - вот это уже будет 138 УК РФ.
Допустим, собеседник обычный человек, не юр. лицо (что бы изменилось, если бы оно им было)?
Если собеседник юр. лицо, то там уже речь идет о служебной или деловой переписке, личной там уже не может быть по определению.