Большинство споров в суде достаточно простые. Проблем особых не должно возникать. Трудности у неюристов больше возникают в формальных моментах.
С актом судиться проще. Но он не гарантия. Подписанный акт не мешает заказчику заявить претензии по качеству или объему работы. Но по умолчанию, если акт подписал и результатом работ пользуется (как видно из ваших комментариев), то он обязан оплатить.
Договор обязательно прочтите весь. Почерпнете важные вещи для себя. Некоторые его условия вполне возможно не соответствуют закону, но это уже только юрист увидит. И подсудность посмотрите там. Вы как физическое лицо работали или как ИП? В первом случае -- общая юрисдикция будет, во втором -- арбитражный суд. Сложно сказать, что лучше. В арбитраже -- больше адеквата и профессионалов. Но там сторона должна сама всё доказывать и на нормы ссылаться. В общей юрисдикции физик ничего не должен -- судья сама должна в деле разобраться. В идеале, конечно. Ну и специфика рассмотрения дел в зависимости от подведомственности тоже есть немалая.
Затрат, кроме почтовых расходов и госпошлины не будет (если сами). Всё это в случае выигрыша взыщете с другой стороны. Расходы на юриста тоже взыскать можно, но здесь уже есть всякие НО (на что именно расходы, размер и прочее). Экспертиза -- тоже расходы, но это дело нечастое. Для неё должны быть основания. Тогда да, придётся потратиться. Но опять же возмещается в полном размере. Калькулятор госпошлины есть на сайте суда. Почтовые расходы -- рублей двести. Подавать иск можно по почте или через интернет. Ехать в суд необязательно.
По срокам -- по закону всё должно закончиться в три месяца с момента принятия дела к производству. Это если без затягиваний, откладываний, экспертиз и прочего. Если другая сторона не придёт, но будет уведомлена, то будет скорее всего только одно заседание. Такое может и в случае, если другая сторона явна настроена на затягивание бесспорного дела и пришла неготовой на процесс (или наоборот вполне готовой). Но это уже от судьи зависит. Если будет апелляция -- еще месяца два-три сверху с учетом срока для обжалования.
Проверьте, кто акт подписывал. Генеральный или кто-то по доверенности?
Не забудьте отправить официальную претензию. Бумажную. С описью вложения и уведомлением о доставке.