Почему произведение может дать количество комбинаций?

Question

[Urukhayy]

Если представлять произведение яблок на корзинки, то получим общее число яблок во всех корзинках.

Но если нам нужно посчитать количество комбинаций (факториал) расположения 6 книг на полке, там тоже нужно произведение. Но как себе можно представить в данном случае это произведение?

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720 комбинаций книг (из 6) можно расположить на полке.

Если мы умножали корзинки на яблоки, мы знали что на что мы умножаем. Зачем здесь умножать все промежуточные числа? Как это можно описать наглядно? (И почему именно умножение, а не возведение в степень?)

Answer 1

[Rsa97]

Для первой книги (из шести) есть шесть свободных позиций на полке. Для второй - остаётся пять для каждого из шести вариантов размещения первой книги (6*5). Для третьей - 4 для каждого из 30 (6*5*4). И так далее, для шестой остаётся одна позиция для каждого из 720 (6*5*4*3*2) вариантов размещения первых пяти книг. Итого 6*5*4*3*2*1 = 6! = 720 вариантов.

Answer 2

[Армянское Радио]

Одну книгу ставим на полку одним способом

Две книги это (количество способов поставить 1 книгу на полку) * количество книг(2)

Три книги - это 3 умножить на количество способов поставить 2 книги

и так далее

Всякая новая ступень в факториале считается так, как будто мы имеем какой-то один из способов расстановки из предыдущего шага и вставляем в этот способ еще одну книгу. А способов поставить среди двух книг третью - ровно три

A Б - две книги

ВAБ АВБ АБВ - три книги, мы воткнули все варианты, для исходной комбинации АБ

теперь берем вторую комбинацию Б А, и также приставляем третью книгу

ВБА БВА БАВ

Answer 3

[Максим]

Как мне кажется факториал не сразу появился, а лишь после того, когда поняли, что есть какая-то взаимосвязь между кол-вом элементов и кол-вом вариантов перестановок. Т.е. взяли одну книгу, опа, 1 вариант перестановки, 2 книги - 2 варианта, 3 книги - 6 вариантов. И чем больше книг брали, тем больше становилось число. А на сколько больше? А на столько, что если зная возможное кол-во перестановок в уже существующей стопке книг, добавить еще одну, то получается что помимо всех тех вариантов, что были до добавления, мы можем переставить книги еще столько раз, сколько книг уже сейчас есть (т.е. новая книга сможет побывать на всех позициях в этой стопке, что умножит общее кол-во перестановок на кол-во мест).
И получилась формула: S = (N-1) * N, N0=1
Объяснил сумбурно, на пальцах показать проще