Wataru

В задаче опечатка, там где-то должно быть J(n-2) вместо J(n-1), и в коэффициентах я не уверен.

По идее в таких интегралах надо интегрированием по частям выводить рекуррентную формулу. Посмотрите на ответ - интеграл равен функции минус какой-то еще, похожий на изначальный, интеграл. Именно так и выглядит интегрирование по частям.

Осталось поэксперементировать перебирая разные части x^n и корня из квадртатного выражения: что из них интегрировать, а что дифференцировать.

Интегрировать корень в знаменателе будет очень тяжко, там логарифмы какие-нибудь вылезут и вообще форма выражения будет совсем другой. Попробуйте продифференцировать 1/sqrt(), а оставшеюся часть интегрировать. Или можно домножить числитель и знаменатель на корень, тогда корень можно уже интегрировать, а оставшееся рациональное полиномиальное выражение дифференцировать.

Еще можно с конца идти - перенесите все интегралы в одну сторону, сгрупируйте. Получите интеграл равен функции. Можно проверить равенство просто продифференцировав функцию.

Похоже в задании опечатка - там должны быть J(n-1) и J(n-2), потому что дифференцируя вот эту свободную штуку получается (C1x^n+C2x^(n-1) + C3x^(n-2)) / sqrt(ax^2+bx+c). Значит, с другой стороны должны быть линейная комбинация J(n), J(n-1) и J(n-2).

Да.

Количество планет - счетное (Можно по спирали их все занумеровать).
Каждая планета в форме блина - континуум ("количество" точек в плоскости или в круге, или на отрезке).

Счетное количество континуумов - тоже котнинуум по мощности.
Плоскость - тоже континуум.

С точки зрения теории множеств - плоскость и поверхности всех планет равномощны.

Знаете 2 точки дуги - знаете длину хорды. Дальше надо на листке нарисовать окружность, хорду и серидинный перпендикуляр. Нарисовать несколько прямоугольных треугольников и найти длину куска от центра хорды до искомой середины. Пусть центр O, исходные точки A,B а искомая точка - M. Середина хорды С. OM = R. OС^2+CB^2=R^2, CM = OM-OC.

Итого - длина искомого куска CM = R - sqrt(R^2-|AB|^2/4)

Для нахождения координат M надо взять середину отрезка AB и отложить от нее перпендикулярный AB вектор длины по формуле выше.

В смысле почему? Почему y=x^2 имеет минимум в 0, почему синус имеет период в 2 пи? Ну вот просто такое свойство у данной функции. Так получилось. Это свойство можно вывести, например, посчитав производную заданной функции.

Хочется какую-то интуицию? При маленьких x вы маленькое число возводите в маленькую степень при увеличении x вы увеличиваете и основание и степень. Увеличивая основание, вы увеличиваете результат. Ведь если большее число возвести в ту же степень, то результат увеличится. С другой стороны, основание-то меньше 1. Если увеличивать степень, то вы больше домножаете на маленькое число и результат должен уменьшатся. Для каких-то чисел основание перевешивает степень и результат при изменении x увеличивается. Для каких-то - наоборот.

Вот тут программисту и нужна математика (совсем чуть чуть).

Квадрат - это все точки (X, Y), которые удовлетворяют неравенствам:

x1 <= X <= x1 + w1
y1 <= Y <= y1 + w1

Пересечение двух квадратов - это точки, которые удовлетворяют одновременно каждой паре неравенств, т.е. удовлетворяют сразу четырем неравенствам:

x1 <= X <= x1 + w1
y1 <= Y <= y1 + w1
x2 <= X <= x2 + w2
y2 <= Y <= y2 + w2

Тут уже видно, что фактически есть пара неравенств на X, и есть пара неравенств на Y. Они независимые. Вот и получается, что пересечение можно искать отдельно по каждой оси.

Рассмотрим одну пару:

x1 <= X <= x1 + w1
x2 <= X <= x2 + w2

Вообще, такие системы неравнеств решают в школе, классе этак в 7.

Сконцентрируемся на левых границах. Что значит, что X >= x1 и X >= x2? Это значит, что X больше обоих чисел x1 и x2. Это можно записать одним неравнеством - X больше максимума из двух чисел:
max(x1, x2) <= X

Так же и по правым границам:
X <= min(x1 + w1, x2 + w2)

В итоге:
max(x1, x2) <= X <= min(x1 + w1, x2 + w2)

Эти неравенства имеют решение, если левая граница не превосходит правой:
max(x1, x2) <= min(x1 + w1, x2 + w2)

Вот у вас условие, что по оси OX есть хоть одна точка пересечения. Если вам касающиеся квадраты не надо считать пересекающимеся, то замените знак <= на строгое неравенство.

Точно также проверьте, что есть пересечение по OY. Если пересечение есть и там и там, то квадраты пересекаются. Т.е. весь ваш код должен найти 2 минимума, 2 максимума, сделать 2 сравнения и соединить их через логичиское И.

У вас одно уравнение с двумя неизвестными (x и y).
Что вы с ним ни делайте, оно так и останется одно, с двумя неизвестными. Оно дает вам какую-то связь неизвестных, но, само по себе, не даст их найти.

Уравнение линейное.
Вы или можете его привести или к виду x= Ay+B (A=-p, B=zp-n) или к виду y=Cx+D (C=-1/p, D=z-n/p)

Больше ничего и никак вы из этого уравнения не получите.

Повороты вдоль какой-то оси на 90 градусов все выглядят одинаково: 2 координаты меняются местами и одна из них меняет знак. Осталось только порисовать и сформулировать правила.

Так, поворот против часовой стрелке вдоль оси Z, меняяет местами X, Y и делает меняет знак у X, т.е. X' = -Y, Y' = X, Z' = Z. Вам надо все тройки вот таким побразом поизменять. Поворот по часовой стрелки вдоль Z делает наоборот. Опять же меняет X и Y и меняет знак Y.

Повороты вдоль других осей придумайте сами. Меняются местами две другие оси, и какая-то из них меняет знак. Представьте, куда двигаются (1,0,0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1), что бы понять правила.

При реализации только аккуратно делайте. Если помене на месте, то надо именно swap делать, ведь если выполнить x=-y; y=x, то у вас изначальная x координата затрется в первом выражении и потеряется навсегда.

s/i=delta/gamma

Вторую часть не совсем понял, вы хотите подставить s из первого уравнения во второе и обособить i?

Тогда Result1= (d/i+1)*gamma/delta

Upd: ответ на отредактированный вопрос - никак. i всегда будет входить в выражение в степени -1.

Код в вопросе найдет такое i, что result станет равен 1, если цикл сделать до N. Для любых дельта и гамма. (но там цикл не нужен вообще).

И наоборот. Какие бы вы дельта и гамма не взяли, может прийти такой Input, что result станет 1, только для очень большого i.

Во-первых, вам цикл не нужен. Вычисления ваши можно упростить.

result = (input / delta) / (i / gamma) = input * (gamma / delta) / i

Если result = 1, то получается i = input * (gamma / delta) (естественно, умножение и деление по модулю N).
Цикла не надо. Можно сразу вычислить искомое i.
Решение единственно (если N простое. А если оно не простое, то делить по модулю нельзя).

И это самое i может оказаться очень большим. Не всегда N-1, потому что у вас ограничение на Input есть дополнительное, Но даже в самом лучшем случае подбора гамма и дельта (обе по 1), вам может прийти input такой, что i будет равно 2^120.

Ну и, во-вторых, вам не нужны две константы дельта и гамма. Тут есть ровно одна степень свободы - значение gamma / delta. Это должна быть единственная константа в вашем коде. В итоге оно все упрощается до:

beta = 0x42
i = beta * input % N
result = 1

И вообще тут, очевидно, проблема XY. У вас есть какая-то задача X, вы придумали какую-то фигню, как-то сформулировали вот эту вот задачу в вопросе (У), но вы ошиблись. Решение вот этой фигни в вопросе вам никак не поможет решить вашу изначальную задачу, пототму что вам не хватает знаний (теории групп, например, да и математики в целом). Вы задаете практически бессмысленные вопросы (уже не первый раз). Если хотите, чтобы вам тут действительно помогли - давайте вашу изначальную задачу. Я подозреваю, что это взлом криптографии и вам тут популярно объяснят, что вы зря тратите время.

Я так понял, надо подобрать константы a,b,c,d?
Вообще, можно a, b1, c считать равными 1 и менять только d.

Но у вас там умножение и деление по модулю. Так что все очень сложно.

Вообще, ваша задача не имеет решения.

Модуль у вас в вопросе порядка 10^78. А X может быть 10^119-10^120. Если x взять по модулю N, то там может получится вообще любой остаток (потому что 10^120-10^119 = 9*10^119 > N)

А дальше, умножая эти числа на константу, если N простое (а оно должно быть простым, иначе деление по модулю не определено), то можно получить любой остаток до N. Не только до 2^60 - 2^70.