Что делать, когда Wolfram говорит, что будет корень, а считать не хочет — a³+b³=z³?

Question

[Корень]

Я тут немного перебрал варианты a³+b³=c³-1, и стало интересно, может -1 это вовсе и не -1? А сколько на самом деле? Интересна же точность:

6³ + 8³ = 8.99588289055082768186³
8³ + 6³ = 8.99588289055082768186³
71³ + 138³ = 143.99998392489524690063³
135³ + 138³ = 171.99998873264740950617³
138³ + 71³ = 143.99998392489524690063³
138³ + 135³ = 171.99998873264740950617³
236³ + 1207³ = 1209.99999977232937453664³
242³ + 720³ = 728.99999937277448225359³
372³ + 426³ = 504.99999869293816345817³
426³ + 372³ = 504.99999869293816345817³
426³ + 486³ = 576.99999899878537235054³
486³ + 426³ = 576.99999899878537235054³
566³ + 823³ = 903.99999959211083933042³
575³ + 2292³ = 2303.99999993720439306344³
720³ + 242³ = 728.99999937277448225359³
791³ + 812³ = 1009.99999967323458349711³
812³ + 791³ = 1009.99999967323458349711³
823³ + 566³ = 903.99999959211083933042³
1124³ + 5610³ = 5624.99999998946441337466³
1207³ + 236³ = 1209.99999977232937453664³
1851³ + 8675³ = 8702.99999999559804564342³
1938³ + 2820³ = 3096.99999996524456946645³
1943³ + 6702³ = 6755.99999999269039108185³
1943³ + 11646³ = 11663.99999999753890733700³
2196³ + 5984³ = 6080.99999999098054104252³
2292³ + 575³ = 2303.99999993720439306344³
2676³ + 3230³ = 3752.99999997633267412311³
2820³ + 1938³ = 3096.99999996524456946645³
3086³ + 21588³ = 21608.99999999929787009023³
3230³ + 2676³ = 3752.99999997633267412311³
3318³ + 16806³ = 16848.99999999882129486650³
3453³ + 24965³ = 24986.99999999943247530609³
4607³ + 36840³ = 36863.99999999973806552589³
5610³ + 1124³ = 5624.99999998946441337466³
5984³ + 2196³ = 6080.99999999098054104252³
6560³ + 59022³ = 59048.99999999986903276294³
6702³ + 1943³ = 6755.99999999269039108185³
7251³ + 49409³ = 49460.99999999981082510203³
7676³ + 11903³ = 12883.99999999799365468789³
8675³ + 1851³ = 8702.99999999559804564342³
8999³ + 89970³ = 89999.99999999997089616954³
10230³ + 37887³ = 38133.99999999977444531396³
10866³ + 17328³ = 18648.99999999901774572209³
11646³ + 1943³ = 11663.99999999753890733700³
11903³ + 7676³ = 12883.99999999799365468789³
15218³ + 66198³ = 66464.99999999995634425431³
16806³ + 3318³ = 16848.99999999882129486650³
17328³ + 10866³ = 18648.99999999901774572209³
17328³ + 27630³ = 29736.99999999959982233122³
17384³ + 78244³ = 78528.99999999998544808477³
21588³ + 3086³ = 21608.99999999929787009023³
24965³ + 3453³ = 24986.99999999943247530609³
25765³ + 33857³ = 38238.99999999975261744112³
27630³ + 17328³ = 29736.99999999959982233122³
28182³ + 31212³ = 37512.99999999975989339873³
29196³ + 66167³ = 68009.99999999979627318680³
31212³ + 28182³ = 37512.99999999975989339873³
31212³ + 34566³ = 41544.99999999979627318680³
32882³ + 69479³ = 71851.99999999995634425431³
33857³ + 25765³ = 38238.99999999975261744112³
34199³ + 46212³ = 51761.99999999983992893249³
34566³ + 31212³ = 41544.99999999979627318680³
36840³ + 4607³ = 36863.99999999973806552589³
37887³ + 10230³ = 38133.99999999977444531396³
46212³ + 34199³ = 51761.99999999983992893249³
49409³ + 7251³ = 49460.99999999981082510203³
51293³ + 64165³ = 73626.99999999995634425431³
54101³ + 56503³ = 69708.99999999992724042386³
56503³ + 54101³ = 69708.99999999992724042386³
58462³ + 87383³ = 95356.00000000005820766091³
59022³ + 6560³ = 59048.99999999986903276294³
64165³ + 51293³ = 73626.99999999995634425431³
66167³ + 29196³ = 68009.99999999979627318680³
66198³ + 15218³ = 66464.99999999995634425431³
69479³ + 32882³ = 71851.99999999995634425431³
75263³ + 94904³ = 108607.99999999979627318680³
78244³ + 17384³ = 78528.99999999998544808477³
84507³ + 89559³ = 109746.99999999988358467817³
87383³ + 58462³ = 95356.00000000005820766091³
89559³ + 84507³ = 109746.99999999988358467817³
89970³ + 8999³ = 89999.99999999997089616954³
94904³ + 75263³ = 108607.99999999979627318680³
99800³ + 104383³ = 128691.99999999995634425431³
104383³ + 99800³ = 128691.99999999995634425431³
130119³ + 81404³ = 139973.99999999994179233909³
131736³ + 11978³ = 131768.99999999991268850863³
152526³ + 93066³ = 163297.00000000011641532183³
153422³ + 86103³ = 161975.99999999988358467817³
186588³ + 15551³ = 186624.00000000014551915228³
204290³ + 146996³ = 227032.99999999967985786498³
237095³ + 105570³ = 243876.00000000011641532183³
249972³ + 152526³ = 267624.99999999988358467817³
257010³ + 19772³ = 257049.00000000017462298274³
275616³ + 120039³ = 283006.00000000029103830457³
289511³ + 331954³ = 393315.99999999988358467817³
315750³ + 340623³ = 414082.00000000000000000000³
331954³ + 289511³ = 393315.99999999988358467817³
339590³ + 57055³ = 340125.99999999947613105178³
340623³ + 315750³ = 414082.00000000000000000000³
342719³ + 113208³ = 346787.99999999970896169543³
345702³ + 24695³ = 345743.99999999994179233909³
403346³ + 293999³ = 449845.99999999947613105178³
434305³ + 151499³ = 440364.99999999947613105178³
455580³ + 30374³ = 455624.99999999947613105178³
589776³ + 36863³ = 589823.99999999906867742538³
664572³ + 257118³ = 677161.00000000011641532183³

Но Python не очень точный и числа пока маленькие.
Решил посчитать в Wolfram Alpha: solve 664572³ + 257118³ = z³ for z
Или так: z = exp((1/3)*log(664572³ + 257118³))
Получаю ответ: z = 6 21^(2/3) 3259743833005^(1/3)
Считаю: 6 21^(2/3) 3259743833005^(1/3)
Получаю ответ:

677160.99999999999927306618764906354670696284441450503146457337351

Беру число побольше:

solve 2908337335267882719112393218356660694028796020413339889344001³ + 199577786472534580238277135938482051708016612125502091367466650497922405808640000³ = z³ for z

Получаю ответ:

z = 7949441259996231297085973537130595651402297675185104268746258304487983041677784803526494645579670238438849020260851625180292736879721770672490671950232980333015959906064939995680758866987416166109220606404931151443380682196431097854676032001^(1/3)

Следующий ответ не получаю. Как обычно поступают в таких ситуациях? Кто считает точнее Wolfram Alpha? Кто считает числа, которые не может посчитать Wolfram Alpha? Чему равен этот корень?

Answer 1

[Wataru]

Этот корень - иррациональное число. Бесконечное. Его точно на компьютере не подсчитать никак. Это будет какое-то большое число с бесконечным не повторяющимся набором цифр после точки.

Точнее всех будет считать python если использовать библиотеку Decimal:

from decimal import *
getcontext().prec = 400
a = Decimal('112312312312312311231231231231231123123123123123112312312312312311231231231231231123123123123123');
print(pow(a,Decimal(1/3.0)))

Можете хоть тысячи знаков считать, ограничения - в основном скорость работы и требования по памяти.

Comments

[Корень]

Шикарно!!! Что вы снова написали программу. Не бейте только меня очень сильно, но я снова не понимаю.
Я давно (с 09.11.2022) знаю что:

a=2908337335267882719112393218356660694028796020413339889344001

b=199577786472534580238277135938482051708016612125502091367466650497922405808640000

c=199577786472534580238277135938482051708016612125502091367466856365842937955328680

a^3+b^3=c^3+1

И надеялся, что если в вашу программу подставлю:

7949441259996231297085973537130595651402297675185104268746258304487983041677784803526494645579670238438849020260851625180292736879721770672490671950232980333015959906064939995680758866987416166109220606404931151443380682196431097854676032001

Увижу что-то очень похожее, на c. Но увидел очень большое отличие:

199577786472532531793424815612752796362374455438619429179847813419714889062904990.6016089774496297617554817169629396321316687622504211017138105139561503781704174860185166818742003853326231466701821413531405896089775637248590837706454287996606329626633091497430745583237291371081165325296981223490150042481077403980143068788047019055679385131079797957592826172495047057948469741329604886701435956945681

[Wataru]

Корень, Количество знаков увеличте. Возможно, точности не хватает. В программе это число 400.

[Корень]

Wataru, На сколько? Увеличивается только дробная часть, а не соответствие в целой части.

[Wataru]

Корень, Нет, эта точность тут - это общее количество значащих разрядов. Плюс там десятичная точка хранится в виде степени. Поэтому тип называется Decimal - числа с плавающей десятичной запятой. Ну, поставьте 2000 для начала. Оно должно быть хотя бы в 3 раза длинее каждого числа.

Но вообще тут проблема с тем, что извлечение корня в этих числах - не точная операция. Вообще, 1/3 в Decimal не записать - это же бесконечная дробь. Но если смотресть по кубам, то все сходится. Даже для 400 знаков.

Можно и корень извлекать, только надо аккуратно получить очень точное значение 1/3. Если просто передавать в Decimal 1/3, то там сначала во float вычисления будут.

from decimal import *
import math
getcontext().prec = 400
a = Decimal('2908337335267882719112393218356660694028796020413339889344001');
b = Decimal('199577786472534580238277135938482051708016612125502091367466650497922405808640000')
c = Decimal('199577786472534580238277135938482051708016612125502091367466856365842937955328680')
print(pow(pow(a,3) + pow(b,3) - 1, Decimal(1)/Decimal(3)) - c)
print(pow(a,3)+pow(b,3)-pow(c,3))

Этот код напишет что-то очень близкое к 0 и 1. Чем больше точность вы будете задавать, тем ближе к 0 вы число получите. К сожалению, вычисление кубического корня через Pow никогда не будет идеально точно.

Можно руками корень вычислять каким-нибудь методом ньютона, если вы подозреваете, что результат будет целым. Или результат округляйте и проверяйте, а не совпадает ли его куб с изначальным числом.

[Корень]

Wataru, Ладно, и так сойдет - спасибо! Это же лучше, чем Wolfram, он и 4 числа то сложить не может.

Answer 2

[mayton2019]

Дружище Корень. Вижу прошло пару месяцев а ты все тот-же Ферматист :)

Я не знаком с пакетом Вольфрам. Но его делал очень умный человек. И я думаю что символьные
вычисления там тоже поддерживаются.

Но такие вычисления обычно подходят под расчеты с дробями. Например 1/2 + 1/3 = 1
в символьных вычислениях поддерживаются. Это позволяет точнее посчитать
пределы например.

То что ты посчитал - это трансцедентное число.

z = exp((1/3)*log(664572³ + 257118³))

Из-за логарифма внутри.
Везде где есть синусы, логарифмы (ряды Тейлора) мы можем говорить об этом
свойстве чисел. Грубо говоря это число которое мы не можем в общем случае
получить путем конечного числа операций над рациональными числами.

И обычно в физике и в инженерном деле логарифмы и экспоненты считают приближенно.
Используя float, double и extended (80bit). И этого хватает чтоб запускать ракеты на Марс.

Их никто не считает точно, просто по той причине что их нельзя представить точно.
У нас не хватит памяти всех датацентров чтоб точно такое считать.

Иногда в очень-очень редких случаях математический пакет может упростить формулу
аналитически (exp(log(x)) и получить более простые цифры без свойства трансцедентности.
Почитай документацию по MathCad, MatLab, может там такое тоже есть.

Я также упрекаю тебя в невнимательности. Я тебе в прошлый раз делал акцент на типах
данных. И ты это благополучно проигнорировал. И снова ты полез в теорию чисел и Ферма
даже не понимая с каким типом данных работает Вольфрам. Разберись сначала с этим вопросом.
Иначе будешь всегда выглядеть почемучкой.

Comments

[Корень]

Да не проигнорировал я, просто я вас не понимаю - извините.

[Wataru]

> То что ты посчитал - это трансцедедное число.

Ну вообще, конечный результат - кубический корень из целого. Вполне себе алгебраическое число. Просто автор не умеет в powи реализует его через костыль вида exp(k*log(x))

[Корень]

Wataru, Почему костыль, ответ же одинаковый?

[mayton2019]

Wataru, да эту формулу я ему и давал недавно.

[Корень]

mayton2019, Спасибо!!!

[Wataru]

Корень, Потому что точность теряется. Ну и в процессе вычислений появляется трансцендентные числа, как и сказал mayton2019.