Сергей Соколов

Делают длинный диапазон, составленный из отрезков, пропорциональных вероятностям.

0..22 : "0"
22..22+19=41: "1"
41..41+16=57: "2"
...
..100: "8"

Выбор из него с линейной вероятностью даст желаемое распределение.

Например, выпало 56 – попадает в диапазон, относящийся к "2"

W ширина области, в которую надо вписать комплект картинок
H высота области.

У n-й картинки:

• iw_n - своя ширина
  
• ih_n - своя высота
  
• k_n = iw / ih пропорция
  

Для каждой, в итоге, надо найти индивидуальный коэффициент масштабирования s_n.

Сложив пропорции w/h картинок, получим пропорцию их блока, когда все одной высоты:
K = k₀ + k₁ + k₂

• К == W/H области, куда надо вписать конструкцию значит что картинки идеально впишутся
  
• К > W/H значит, высота будет недостаточна, останется место сверху и снизу.
  
• К < W/H значит, высота впишется, а слева+справа останется лишнее место - его за счёт межкартиночных интервалов можно распределить.
  

Исходя из сравнения считаем высоту блока Hb. Она либо равна W / K, когда K > W/H; либо равна H.

Теперь остаётся сосчитать индивидуальные коэффициенты:
s_n = Hb / ih

На этот коэффициент нужно умножить начальные размеры картинки.

Есть 2 изображения со значениями ширины и высоты (w1,h1) и (w2,h2). Известна суммарная ширина двух изображений после трансформации: W.

Требуется найти коэффициенты k1 и k2 пропорционального масштабирования двух изображений, чтобы изменённые изображения:

1. имели одинаковую высоту: k1 * h1 = k2 * h2
   
2. в сумме дали нужную ширину W: k1 * w1 + k2 * w2 = W
   

Решите эту систему уравнений. У меня получилось

k1 = W / ( w2 * ( h1/h2 + w1/w2))
k2 = k1 * (h1/h2)

У Остапа Бендера в мешке 100 слонов, из которых k разноцветных, и он раздает их m детям по слону в руки (k < m < 100). Сколькими способами может состояться раздача слонов?

Первого слона можно выбрать 100 способами и отдать m способами.
Второго выбрать 99 и отдать m – 1 способом.

N = 100 * m * 99 * (m-1) * ... * (100 - m) * 1
N = 100! / m! * m! = 100!

Итого, ответ 100! (100 факториал)

Но, похоже, я что-то не понял в условии задачи – к чему там разноцветность некоторых слонов?

У меня дискретной математики не было, но решал бы так. Есть утверждения:

Л: Пс Бд
П: Лс Бд
Б: Лс Пе

Найдём пару утверждений из которых один оба раза сорвал, другой оба раза сказал правду. Поскольку утверждения Л-П связаны через Бд, а П-Б через Лс, остаётся пара Л-Б – кто-то из них оба раза правда, другой оба раза ложь.

Ложное утверждение обозначу с воскл. знаком (логическое НЕ) – например, !Лс.

Итак, один раз соврал и один сказал правду, выходит, Пончик: П: !Лс Бд

Чтобы Лс было ложным, надо так же сделать ложными утверждения Б. Значит, Б оба раза соврал, а Л оба раза сказал правду:

Л: Пс Бд
П: !Лс Бд
Б: !Лс !Пе

Итого, точно знаем: Пс и Бд. Остаётся Ле.
Ленчик – ель; Пончик – сосна; Батончик – дуб.

upd. Таблица истинности так составляется?

Л П Б  Пс Бд  Лс Бд  Лс Пе
0 1 2  0  0   1  1   0  1  конфликт Бд и Лс
0 2 1  0  0   0  1   1  1  конфликт Бд и Лс  
1 0 2  1  1   0  0   0  1  конфликт Бд
2 0 1  0  1   0  0   1  1  конфликт Бд и Лс
1 2 0  1  1   0  1   0  0  ОК
2 1 0  0  1   1  1   0  0  конфликт Лс

Переменные три: истинность утверждений каждого персонажа. Три возможных состояния: 0 – оба раза соврал, 1 – оба раза правда, 2 – соврал-правда. Дальше раскрываем их значение по каждому из утверждений (0 ложь, 1 истина). Во всех вариантах, кроме одного возникают логические конфликты.

Парабола подойдёт? y = 100 - 100 * sqrt( x / N) (N – время, когда результат становится нулём)

Примерно в ваши точки ложится парабола с такими параметрами:
y = 100 - 100 * sqrt( x / 176000)

(здесь проценты в 1000 раз больше для пропорционального графика)

Или, чтобы не так резко падало значение в первые моменты, можно взять смещённую логарифмическую кривую y = 100 - 30 ln( 1 + x / 10000)

Буквально ваши правила реализуются подобным JavaScript кодом – с условиями:

function getPostScore(time) {
  var diff = Math.floor((new Date()).getTime()/1000) - time;
  if( diff <= 3600) return 50000;
  else if( diff <= 7200) return 25000;
  else if( diff <= 10800) return 10000;
  else return 0;
}

getPostScore(1493487180); // 10000

Но ступенчатость значений, наверное, не вполне оправдана и лучше будет какой-то гладкой функцией. Например, вида y = k / x

С коэффициентом k = 50000 * 3600 она удачно захватывает и вторую точку. Но плоха тем, что ближе к нулю зашкаливает в +бесконечность.

Наверное, для вашей задачи уместнее S-образная кривая – сигмоида, задаваемая формулой вида y = 1 / (1 + e^-x) Примерно подобрал коэффициенты:

function getPostSigma(time){
  var diff = Math.floor((new Date()).getTime()/1000) - time;
  return Math.round( 10000 + 40000 / (1 + Math.exp((diff-6800)/700)));
}

getPostSigma(1493531780); // 49998
getPostSigma(1493522780); // 11545

Если мой хрустальный шар не сломался, то речь идёт о линейной функции, график которой – прямая линия. И известны две точки, через которые эта прямая проходит:


Допустим, даны две точки D1 с координатами (x₁, y₁) и D2 с координатами (x₂, y₂). Тогда уравнение прямой через них можно записать так:

( x – x₁) / (x₂ – x₁) = ( y – y₁) / (y₂ – y₁)

В данном случае, это

(x – 0)/(6 – 0) = (y – 1)/(0 – 1)
x / 6 = (y – 1) / –1
–x / 6 = y – 1
y = 1 – x/6

Если, к примеру, x=4, y = 1/3
Подробнее об уравнении прямой через две заданные точки на плоскости. График нарисовал в бесплатной программе GeoGebra (в т.ч. на Русском языке) – очень рекомендую для объяснения/понимания математики и геометрии.

Перечитав ваш вопрос раз 5, вроде бы уловил его смысл. Как я понял, есть прямоугольный треугольник ABC (В – прямой угол). Известны длины всех сторон, координаты на плоскости вершин B и C. Надо найти координаты вершины A:

При таких условиях задача имеет два решения: точка с одной или с другой стороны от прямой BC (на рисунке – сверху или снизу, под BC)

Надо взять вектор BC, повернуть его на 90° (в одну или в другую сторону), и длину разделить на bc и умножить на ab:

x = Bx - ab * (Cy - By) / bc
y = By + ab * (Cx - Bx) / bc
// в другую сторону:
x = Bx + ab * (Cy - By) / bc
y = By - ab * (Cx - Bx) / bc

Сделать из числа массив цифр: str_split(), сложить все элементы массива: array_sum()
Итого:

$num = 1679;
$sum = array_sum( str_split( $num));