Задать размеры блоку с картинкой (предварительно обдумав, что при этом должно делать меню и что пропорции сторон у экранов разные)
width:100vw;
height: 100vh;
background-size: 100% 100%
даст Вам заполнение картинкой всей площади блока. Разумеется, с нарушением пропорций, если у картинки и у окна браузера они не совпадают.
Вариант решения: через media запросы скармливать разные картинки в зависимости от соотношения сторон окна браузера.
но столкнулся с непредвиденной проблемкой...
знаем, знаем, называет эта проблема на букву Г :)