fenrir

С текущими вводными разве что идти от обратного: постоянно слать пинг вроде "я живой". Если пинга нет, значит отключен.
Для полноценных оповещений, как верно отметил Shandy вам нужен второй сервер, который будет заниматься мониторингом первого, в связи с чем вопрос, а зачем вам это нужно? Примерно любой хостинг дает аптайм в 99+%, что за волшебный хостинг, который отключает сервер.

Для выполнения задачи периодически в диснейке есть задачи.

Чтобы получить баннер нужно взять случайного пользователя и проверить наличие Member.banner, повторять пока не найдется.

Обновить баннер сервера можно через Guild.edit

@tasks.loop(hours=2)
async def change_banner():
   user_with_banner = await find_user()  # реализовать самому
   guild = await get_guild()  # реализовать самому
   await guild.edit(banner=user_with_banner.banner)

Как подружить команду mute и unmute?

Mute и Unmute дружите. Годится?

Соблюдайте правила русского языка и формулируйте вопрос так, чтобы не нужно было домысливать что имеется ввиду.

Для начала разберемся в терминологии дискорда. То что вы делаете называется таймаутом пользователя, мут в отличии от таймаута автоматически не снимается. В данном случае это важно потому что вероятно вы все 16 часов гуглили не то.
Таймаут не требуется хранить и отслеживать - специально для этого у объекта пользователя есть атрибут Member.timed_out_until, там будет None если таймаута нет или datetime его истечения.

Далее. Если пытаетесь что-то хранить используйте для этого базу данных, а не словари. Первое же отключение бота приведет безвозвратной потере данных в ваших словарях и никакая дружба вам не поможет.

И перейдите уже на слеш-команды. 80% кода состоит из валидации полей, вам там ок игнорировать последние 2 года развития библиотек?

У ембеда нет поля name, есть title и description.

В заголовок вставить нельзя, В тело, как и почти везде вставляется маркдауном [example](example.com)

Использовать слеш команды вместо префикса. Они на этапе ввода не позволяют вводить ошибочные типы данных и приводят значения к нужным типам
commands#converters

Выводить как сырую строку r'\right' или экранировать

Задача: запустить много ботов в одном докере.

Где докер файл, которым ты решаешь эту задачу? Что значит в одном докере? В одном контейнере? Зачем?

После экспериментов с многопоточностью и различными вариантами кода, то понял что сам докер блокирует все потоки

Какое отношение к вопросу имеет многопоточность?

Наиболее предсказуемый вариант разворачивать ботов независимо друг от друга. Если им нужно какое-то общение между собой это реализуется другими средствами: общей БД, реплицированным кэшем, брокерами сообщений и прочими, но никак не запуском в одном процессе.