fenrir

original_message это корутина. Соответственно рабочий код будет как вы сами и написали будет
message = await interaction.original_message()
При этом в приложенном коде нет await

При любых подобных проблемах делайте print(type(obj)) и смотрите по документации что вам вернулось.

Я здесь вижу 4 отдельных вопроса и вижу 0 попыток самостоятельно это реализовать.

Да все это сделать можно, открываете документацию и изучаете.
Даже 3 строчки что вы приложили дают понять, что вы ее не открывали, поскольку слеш-команды принимают не Контекст, а Взаимодействие. Это разные объекты с разными атрибутами и методами.

@client.tree.command()
async def send(interaction: discord.Interaction, text_to_send: str):
    await interaction.response.send_message(text_to_send)

В частности у него есть атрибут response, который как раз отвечает за ответ, а не самостоятельное сообщение.

Кто вызвал команду лежит в user.

Для выбора человека и выбора из пунктов нужно ознакомиться со страницей discord-converters, там даны все типы, которые можно передать в параметры команды. Нужно только проставить типы, все остальное библиотека делает сама.

Если ты собрал и у тебя работает на локальной машине - не факт что заведётся на тесте/стейдже/проде.
Если ты собрал и у тебя работает в контейнере - оно вероятно будет работать везде и с одной команды.

в дискорде есть кнопка, и у этой кнопки свой тэг ввиде 'y/n user_id role_id'

Проверяйте, что она имеет именно этот вид. И get_role и get_member возвращают None в случае если не найден искомый ID.
Почему он не найден вопрос к вам.

Нельзя.
Права пользователей и права ботов отличаются, для них разные API. В старых версия discord.py был такой функционал (где-то в районе 1.5), но он был выпилен примерно 3-4 года назад с тех пор как он нарушает TOS. Поскольку диснейк основан на discord.py 1.7.4 там этого функционала не было изначально.

Библиотеки для создания таких ботов есть, но поскольку за это быстро банят их развивает буквально полтора землекопа и они максимальны сырые (форки очень старой версии discord.py с попытками доработки). По правилу 5.5 публиковать о них информацию и как-то помогать в этом направлении вам тут не будут.

Вообще это не предусмотрено, поскольку placeholder подразумевает что ничего не выбрано, но вы можете обновить основное сообщение в конце callback'a

await interaction.message.edit(view=DropdownView())

Давайте пройдем пошагово по алгоритму:
1) Вы смотрите в какой канал зашел пользователь
- На нем отвалятся те, у кого нет доступа к этому каналу и те кто заходят без конкретного канала

2) Ищите первого человека, кто создавал для этого канала
- Тут отвалятся несколько приглашений на один канал

3) Ожидаете что будет пригласивший
- Хотя это опциональное поле.

Итого даже если звезды сойдутся и на ком-то все отработает, считать все равно будет неправильно, т.к алгоритм предполагает, что на один канал может пригласить только один человек.

Теперь правильный алгоритм:
1) Заводите команду, например /invite, которой генерируете приглашения за пользователя.
2) При генерации сохраняете в БД кто команду вызвал, в формате вроде (user_id, url)
3) При заходите смотрите обязательное поле url и смотрите какой пользователь его генерировал - он и будет пригласившим.

Самого запуска бота в коде нет. Собственно поэтому и ошибок нет без запуска.
Последней строчкой
bot.run(TOKEN)

P.s ознакомьтесь с правилами ресурса и исправьте вопрос, если надеетесь на дальнейшую помощь