Ответственность за сайт (контент, код и пр. наполнение) в первую очередь несет собственник сайта (это ваш клиент) и претензия должна быть адресована именно ему, а не вам...
Вы же, все работы на сайте (что-то удалять или добавлять) можете проводить только с согласия собственника сайта... (это юридически разумеется, не фактически).
1) договора (уже) наш клиент и прошлый разработчик никакого не заключали;
Это уже относится к процессу доказывания, достоверно вы знать не можете, а только словам доверять не стоит, в любом случае пусть об этом думает автор претензии если намерен защищать свои права...
2) если мы изменим главные элементы дизайна (не кардинально), тогда это уже не будет считаться прошлый дизайн же.
Вы внесли существенные изменения/доработки, следовательно также являетесь авторами и вправе использовать упоминание о себе на сайте. Автор же основного дизайна сайта никак не обусловил право использования своего имени (как автора) на сайте, кроме того не ясно было ли упоминание об авторе на сайте или нет... если нет, то следовательно собственник сайта (ваш клиент) вправе не использовать упоминание о нем на сайте (ст. 1300 ГК РФ)
3) Клиент всем доволен, у нас с ним договор в котором описано наличие нашего логотипа
В таком случае с вашей стороны нет нарушений обязательств предусмотренных договором, вы выполнили работу в соответствии с указаниями заказчика.