настроить NAT переадресацию в зависимости от домена
NAT никак не связан с доменами, это другой уровень, ему вообще на домены пофиг. Поэтому с помощью NAT вы этого не сделаете.
Интересует прописать в маршрутизации NAT-а что-то вроде:
tv.myhome.net = 192.168.37.42
Смотря для чего оно вам нужно.
Если вы хотите ходить по этому адресу из домашней сети вам достаточно прописать соответствие в hosts роутера.
Если вы хотите ходить по этому адресу из интернета - вам нужно сопоставить этот домен с вашим белым адресом. А в NAT просто пробросить порт к нужному сервису на компьютер 192.168.37.42
Опишите более детально зачем это вам понадобилось, какие сервисы именно вы хотите использовать и как.
Например если вас интересует http/https трафик - делается элементарно в локалке за роутером ставится nginx в режиме реверс прокси, а все имена в NS отправляются на ваш белый ip.
