VT100

Шершавый - проволочный (cement wirewound). Отличается намного большей перегрузочной способностью (когда при включении в сеть заряжается конденсатор выпрямителя). Такой ищите.
Другие резисторы надо будет брать намного большей мощности и то - он всё равно сможет уйти в обрыв в самый неподходящий момент.

ардуинку которая будет эти самые обороты регулировать pid контроллером.

1 (один) операционный усилитель, питающийся напрямую.

Где будет лучше всего разместить термодатчики на трансформаторе (или рядом с ним) и как их крепить к нему, нужно ли использовать термопасту/термопрокладку/термопроводящий клей, или хватит обычный жидких соплей.

Думаю, сверху в центре сердечника - неплохо. "Сопли" - однозначно плохо. Лучше - какой-либо пружинкой, опирпющейся на элементы конструкции.

Не приведет ли это к КЗ/наводкам на трансформаторе?

Если не вмешиваться в его конструкцию (например - сверлением магнитопровода), то К.З. не будет.
В вопросе о наводках - не согласованы падежи. Кто на ком стоит?

Ну и, длительная работа - не согласуется с низким напряжением аккумулятора.

Pin-to-pin аналогов - нет. Серия 157 - оригинальная разработка.
ZXCT1041 - вполне может подойти. Мне как-то и в голову не приходил вариант, изложенный в AN55. Но надо будет пересчитывать или переподбирать, как минимум, - R7-C9, R10-C11, R16. Как максимум - подбирать и коэффициенты усиления всех каскадов. Разбираться, зачем у автора два измерителя средневыпрямленного значения. И т.д.
P.S. Почему бы не сделать, для начала, компрессор на простом двухполупериодном логарифматоре (один ОУ и два встречно-параллельных диода, транзистора, светодиода)?

Поищите схему АВК-6:
https://rw6ase.narod.ru/index1/cifra/komp/awk6.html
www.leningrad.su/museum/show_calc.php?n=491

Dot из пакета Graphwiz?

Можно. Но с микросхемами - проще, меньше паять.

Хм-м-м... Тогда - Титце и Шенк попробуйте.

... будет усиливать входной сигнал до 100 В. На вход усилителя подаем 10 В, синус. Далее усиленное напряжение поступает на усилитель с общим коллектором, где уже усиливается ток до 80 мА и при этом форма сохраняется, за счет особенности эмиттерного повторителя. Нагрузка 300-1000 Ом.

Перво-наперво - какой частотный диапазон сигнала и должен ли он включать постоянный ток? Если от десятков Гц до десятков кГц, то следует посмотреть схемотехнику звуковых усилителей мощности.
Во-вторых - обязательно ли делать линейный усилитель или можно взять D-класс?
Далее - почему выбранная схема малопригодна/нереализуема:

• Для получения 100 В на выходе надо либо питание более 100 В, либо трансформатор на выходе (только если не нужно усиление постоянного тока).
  
• Откуда взялся ток выходного эмиттерного повторителя в 80 ма? По моим прикидкам - не менее 340 мА для нагрузки в 300 Ом.
  
• Выходной эмиттерный повторитель и его резистор будут просто адски греться. При максимальной выходной мощности 34 Вт (100 В на 300 Ом) на них будет всегда рассеиваться более 34 Вт.
  

P.S. Зачем?

Генератор из асинхронного двигателя - дендро-фекальный получится. С хреновым КПД и малой мощностью.
Также - у него может быть недостаточное число полюсов для скорости, развиваемой турбиной (см. КПД).

где общие точки,

Очевидно - там, где соединены выводы.

где резисторы параллельно, а где последовательно.

ТОЭ (теоретические основы электротехники).
Условно, если у двух двухвыводных резисторов (деталей) выводы соединены попарно - это параллельное соединение:

-----+--
|    |
R    R
|    |
-----+--

Если соединены только два вывода - последовательное:
---R--+--R---

Как вариант - сделать фото или сканы обеих сторон платы и совместить их, с необходимым отражением и приглушением контрастности, в графическом редакторе.
Обмотки дроссель-трасформатора, синфазного фильтра и "соединения" можно "вызвонить" тестером.

P.S. Уже пошли грубые ашыпки при срисовывании схемы.

Не совсем понятен вопрос - в чём затык? Да, оборудование нужно в любом из вариантов.

• Если в том, что LPT давно канул в историю - поставить PCIe карту с ним. До 1000 руб., КМК, можно уложиться. Потом - изучить работу с ним и крутить.
  
• Как вариант - взять что-то вроде FT245 и рулить через USB. Примеры "запись в FT245" найдёте на сайте производителя.
  
• Или даже - взять вместо ULN2003 более навороченный драйвер с SPI или I²C. Если не боитесь и разбираетесь в "железе" ПК - можно их подключать прямо к матплате. SPI - на шину BIOS'а (правда непонятно, как найди для него незанятый сигнал ChipSelect), I²C - на шину SPD или ещё какую (часто их 2..3 отдельных есть). А можно их и на USB навесить, через FT232H.
  

Что такое шаговый двигатель и как его крутить, например, - тут.

Когда была фирма "Atmel" - она тоже делала смарт-чипы. Технологии, в среднем по "Atmel", были от 130 нм и выше. Карты, думаю, - вообще на уровне 180-250 делались.
" ST Micro" сейчас делает 90-40 нм.

По структурной схеме - разработать принципиальную. Потом - собирать.

А так - этот вопрос, наверное, нарушает какой-нибудь пункт Устава QNA. Т.к. похож до степени смешения на "сделайте за меня." Рарработку медицинского прибора в один вопрос QNA - не уложить никак.

Может работать, но:
- светодиоды, скорее всего, сгорят от 9 В;
- в соединении крайнего правого светодиода есть ошибка;
- если имеются в виду "обычные индикаторные" светодиоды с номинальным током до 20 мА, то их можно подключить к дурине и питанию 5 В без внешних транзисторов.

Что нужно добавить к светодиодам для питания от 9 вольт? Да и от 5 - тоже.

Уже лет 15, как есть вполне годные (FT232) переходники USB-COM. Ищете цоколёвку кабеля UPS и - вперёд.

Если не поможет (монитор выглядит патологически умным) постоянный сдвиг сигнала от 0, то надо будет съэмулировать хотя-бы строчные импульсы.