Mrrl

Вычисляете (a1*x + b1*y + c1)*(a2*x + b2*y + c2). Если у него знак такой же, как у a1*a2+b1*b2, то точка принадлежит тупому углу между прямыми, если другой - то острому. В случае параллельных или почти параллельных прямых второй случай соответствует ситуации "лежит между", а первый - "нет".

Придумываете условную единицу "сантик".
Считаете, что выигрыш каждого (в сантиках) равен произведению его ставки на процент выигрыша (неважно, считать выигрыш от 0 до 1 или от 0 до 100).
Вычисляете общий выигрыш в сантиках.
Вычисляете курс сантика исходя из того, что суммарный выигрыш 10000.
Пересчитываете выигрыш каждого.
Если сумма ставки - S(X), а процент выигрыша - V(X), то
C=10000/sum(S(X)*V(X)) - курс сантика
W(X)=S(X)*V(X)*C - окончательный выигрыш.

Если X идёт с равномерным шагом, то МНК не нужен.
Сначала сводите задачу к Y=a+d*sin(X)+f*cos(X).
Довольно очевидно, что a=sum(Y)/n (поскольку sum(sin(X))=sum(cos(X))=0).
Далее, умножаете обе части исходной формулы на sin(X):
sum(Y*sin(x))=a*sum(sin(X))+d*sum(sin(X)^2)+f*sum(sin(X)*cos(X))
Выполняются условия sum(sin(X))=sum(sin(X)*cos(X))=0, sum(sin(X)^2)=n/2 (если n > 2). Отсюда d=sum(Y*sin(X))*2/n. Аналогично, f=sum(Y*cos(X))*2/n.

r=sin(2*(phi+phi0)), где phi0 - угол поворота. Но она повернёт только кривую, а оси оставит на месте.

Решение Wolfram я не смотрел, но (-8)^2 это не 16, а 64. Возможно, есть ещё ошибки.

UPD. Посмотрел. Они в качестве (-8)^(1/3) берут не -2, а 2*exp(i*pi/3)=1+i*sqrt(3). Теоретически, имеют право, хотя это не то, что нужно в задаче по матану.

Когда вы строите дробь a/b, у вас есть последовательность остатков:
a_0=a%b, a_1=(a_0*p)%b, a_2=(a_1*p)%b,... где p - основание системы счисления. Как только два остатка a_x и a_y совпали - все цифры между ними ((a_x*p)/b, (a_{x+1}*p)/b,...,(a_{y-1}*p)/b) образуют период. Как эффективно найти период такой последовательности - ищите. При небольших b достаточно взять массив M с индексами от 0 до b-1, и для каждого вычисленного остатка проверять ячейку M[a_y]. Если в неё ещё ничего не записали, записать M[a_y]=y. Если там лежит какой-то x, то период найден.
Есть и другие способы, без использования массивов.

Получается n=6*m+1 и 6*m+5. Надо воспользоваться тем, что (x+1)^2 mod (x^2+x+1) = x, рассмотреть отдельно случаи n=2*k и n=2*k+1, в каждом умножить обе части на (x-1) и искать P*(x-1) mod (x^3-1). Там x^(3*a+b) mod (x^3-1) = x^b, а в многочлене P после применения первого тождества останется 3 или 4 слагаемых, так что считать несложно.

Ну, например. Проводите вы какие-нибудь сложные вычисления, например, считаете определитель большой матрицы методом Гаусса. Получилось какое-то маленькое значение, но ошибка при вычислениях могла накопиться большая, и вы не уверены, 0 это или, скажем, 1 (у исходной матрицы коэффициенты целые). Что делать? Посчитать по какому-нибудь модулю. Если повезло и в процессе не пришлось делить на 0, то результат по этому модулю окажется правильным, и если получился не 0 - то значит, и вещественное число было ненулевым. Если же по нескольким разным модулям получились нули, то с большой вероятностью определитель действительно нулевой.
Модулярная арифметика может пригодиться для перемножения многочленов или больших чисел с помощью быстрого преобразования Фурье. Или для каких-нибудь расчётов, когда вообще неважно, чему равны числа, лишь бы они были ненулевыми и независимыми. В общем, случаи редкие, но когда они встречаются, неплохо бы об этом приёме знать.
А, да, ещё была "многомодульная геометрия" - когда с помощью модулярной арифметики проверяли, равны ли радиусы двух сфер. Хотя это олимпиадное программирование...

Если его повернули на угол a, то
A1=min(A/abs(cos(a)),B/abs(sin(a))),
B1=min(B/abs(cos(a)),A/abs(sin(a))).
Если приходится делить на 0, то результат деления считается равным бесконечности, а значение минимума - второму числу.