Как сравнить бесконечность?

Question

[Леший Городской]

Дано:
Бесконечный одинаковый ряд A и Б чего-либо (чисел, коробок, команд...).

Вопрос:
Что меньше А или Б-1 ?

P.S.
Вопрос пятничный и не очень серьезный. Сам немного запутался и потому решил спросить.

Answer 1

[Оптимус Пьян]

Бесконечность всегда больше чего либо а минус бесконечность всегда меньше, две бесконечности сравнивать некорректно, если бы бесконечность была типом (типа true или false например infinity) то логически infinity = infinity но фактически в них может быть разное количество значений так что infinity != infinity короче это как на ноль делить нельзя ))

Answer 2

[tsarevfs]

В случае с бесконечным рядом коробок мы имеем счетное множество. Это значит что коробки можно пронумеровать натуральными числами (пусть для простоты у ряда коробок есть начало, и он уходит бесконечно в право |1| |2| |3| |4| ... |n| ...) Пронумеровать означает построить взаимно однозначное соответствие между коробками и числами (биекцию). Если можно построить биекцию для двух множеств, то они являются равномощными.

Если убрать одну из коробок, то на всех коробках справа от нее можно заменить число с i на i-1. Получаем, что все коробки пронумерованы, и мощность множества без 1 коробки осталась прежней.

При этом обычно мощность счетного множества не используют как число. Если добавить ее в качестве числа в натуральный ряд, то нарушаются аксиомы пеано, которые этот ряд задают. Никто не мешает эти аксиомы изменить, но такой расширенный ряд не очень хорошо описывает реальный мир в отличие от обычных натуральных чисел. Поэтому так обычно не делают.

И да, все же бывают бесконечности "больше" чем счетные. Можно доказать, что точки на отрезке [0, 1) нельзя пронумеровать (отдельный вопрос -- что такое точки на отрезке, см. 2 гл.). Мощность множества точек на отрезке совпадает с мощностью множества точек на прямой, на плоскости или в кубике. Такую мощность называют континуумом. Теоретически можно построить и множества больших мощностей.

Answer 3

[Mrrl]

Это смотря что понимать под словом "сравнить". Если хотите узнать, где больше элементов - в A или A-1, при этом A это действительно "ряд" (бесконечная последовательность), то их всегда одинаково. Если хотите узнать, в каком ряду элементы больше, то надо сравнить соответствующие коробки и посмотреть, в какой значение больше - в A или в A-1. Каких элементов больше, те и победят.
Например, если A=1,2,3,4,..., то A-1=2,3,4,5,... и A-1 > A во всех индексах. Если A=1/1,1/2,1/3,..., то A-1 < A. Если же ряд более хитрый, например, 1,-2,3,-4,..., то для определения каких индексов больше, надо воспользоваться таким объектом, как неглавный ультрафильтр - отличная штука, но, к сожалению, некоструктивная. В результате появляется объект, являющийся простейшим вариантом гипердействительных чисел, открывающих путь к нестандартному анализу.

Answer 4

[Сергей]

Сравнивайте мощности бесконечностей. В данном случае они равны.
А вот бесконечность всех четных чисел меньше бесконечности всех натуральных.

Comments

[Vlad_Fedorenko]

Почему мощность множества всех чётных чисел меньше множества всех натуральных? Они же вроде равны, нет?

[Сергей]

Ну я же пятничный теоретик.

[AVKor]

Сергей: Это заметно.

Они равномощны (|2Z| = |N|).

Answer 5

[Виталий Витренко]

Сравнение функций. Бесконечно малые и бесконечно б...