Как спроецировать фигуру на плоскость?

Question

[vadimstroganov]

Здравствуйте!
Никак не могу понять как спроецировать фигуру на плоскость.
Допустим я задаю четырехугольник в плоскости XYZ с точками:

A = (x1,y1,z1)
B = (x2,y2,z2)
C = (x3,y3,z3)
D = (x4,y4,z4)

Мне нужно получить примерно что-то такое, как изображено на картинке:


Я хочу задать фигуру в 3d пространстве, и потом вывести ее проекцию на 2d плоскости

Я хочу взять проекцию каждой точки, получить новые 4 точки с координатами (x,y) и построить уже их в декартовой системе координат. Но я не могу понять как имея точку с координатами (x,y,z) перевести в (x,y)

Подскажите пожалуйста, буду признателен за любую помощь

Answer 1

[Олег Цилюрик]

Но я не могу понять как имея точку с координатами (x,y,z) перевести в (x,y)

Вообще то, это элементарная задача из курса начертательно геометрии (1-й курс).
И во многом зависит от того, каким образом у вас задаётя плоскость.

Comments

[vadimstroganov]

Да я уже понял, что задача элементарная.. был бы признателен за наглядный пример, если это возможно..

[Олег Цилюрик]

Strollager:
Да не может быть здесь "наглядного" примера! - нужно просто взять и поднять университетский курс начертательной геометрии.

[Олег Цилюрик]

Strollager:
Вы "покрутите" плоскость, и убедитесь, что проекция ваша 100% определяется тем как (каким образом) задана плоскость. А дальше вам нужно а). из точки (x,y,z) определить нормаль (перпендикуляр) к этой плоскости б). решить линейное уравнение пересечения этой нормали с плоскостью - вот вам и будет (x,y)... хотя вам ещё придётся решить, что считать за (0,0) на плоскости.
Ничего страшно сложного там нет ... но хлопот изрядно.

Answer 2

[Mrrl]

Чтобы найти точку "в плоскости", вам нужно задать в ней систему координат. То есть, выбрать точку начала координат O(x0,y0,z0) и два базисных вектора X=(x1,y1,z1) и Y=(x2,y2,z2). Судя по тому, что вы говорите про "декартову систему координат", векторы должны быть единичной длины и перпендикулярны друг другу.
Добавляете к системе вектор Z, параллельно которому идёт проектирование. Из условия непонятно, рассматриваете вы только ортогональную проекцию, или общий случай параллельной проекции.
В случае ортогональной всё просто - не нужно даже возиться с матрицами:
вектор Z вычисляется как векторное произведение X и Y, но он нам не нужен вообще: если проектируемая точка P имеет координаты (x,y,z), то её проекция Q будет иметь координаты (в системе координат плоскости)
x'=(P-O,X)=(x-x0)*x1+(y-y0)*y1+(z-z0)*z1
y'=(P-O,Y)=(x-x0)*x2+(y-y0)*y2+(z-z0)*z2.
В случае косоугольной проекции вычисления сложнее - надо умножать вектор (P-O) на матрицу, обратную к матрице, составленной из X,Y,Z. И там главное не запутаться, где строки, а где столбцы.

Comments

[vadimstroganov]

То есть у нас получается базисные вектора следующие(для построения декартовой системы координат):
X(1,0,0) и Y(0,1,0) ?

[Mrrl]

Strollager: Для плоскости z=0 - да. В этом случае x'=x, y'=y. Если бы вы проектировали на плоскость x+y+z=1, можно было бы взять О=(0,0,1), X=(1,-1,0)/sqrt(2), Y=(1,1,-2)/sqrt(6), и формулы для x', y' были бы сложнее.

[vadimstroganov]

Понял, спасибо большое!

Answer 3

[Даниил Смирнов]

Не совсем понял вопрос, хочу уточнить: плоскость, на которую вы хотите сделать проекцию - это произвольная плоскость или же подразумевается плоскость, образованная осями координат(xy yz xz)?
потому что если второе - то получается все банально. Вы просто берете координаты этих же точек, располагаете на плоскости. Видимость определяется координатой Z. в данном случае это излишняя информация, ведь вы просто проецируете плоскую фигуру на плоскость.
Напишите в комментарий, если Вы меня не совсем поняли или я Вас неправильно понял

Comments

[vadimstroganov]

Да, плоскость образованная осями x,y,z
Вот например, треугольник(зеленый), и я хочу получить координаты точек(того что снизу)

[Даниил Смирнов]

Strollager: я к чему тогда имею ввиду: у точек плоскости в пространстве координаты x1 y1 z1 и x2 y2 z2 так ведь? вопрос на сообразительность: какие координаты у спроецированных точек?

[Даниил Смирнов]

Strollager: ответ: те же самые, только z1=0 и z2=0

[vadimstroganov]

Похоже так и вправду, что-то я совсем чертонулся. Спасибо!