Данила Румянцев

Попробуй использовать Pool.map().
Пример его использования буквально в самом начале официальной документации.

Никак, ограничение гугла. Получаете 500 сообщений, достаете из ответа токен следующей страницы, вызываете этот метод опять, добавив параметр pageToken со значением, которое получили.

как-то так вроде

messages = []
next_page_token = None

for _ in range(3):
    if next_page_token:
        msgs = service.users().messages().list(userId='me',maxResults=500, pageToken=next_page_token).execute()
    else:
        msgs = service.users().messages().list(userId='me',maxResults=500).execute()

    messages.extend(msgs)
    next_page_token = msgs['nextPageToken']

Можно попробовать так:

pseudo_input = driver.find_element_by_css_selector(".btn") # ну или что там у тебя за элемент
( selenium.webdriver.common.action_chains.ActionChains(driver)
    .move_to_element(pseudo_input)
    .click(pseudo_input)
    .send_keys_to_element(pseudo_input, *keys_to_send)
    .perform()
)

Да никак не избежать. Либо прокси, либо увеличивать паузу между запросами.. можно же подождать. Закинуть на сервер и пусть работает себе

Ты забыл добавить функцию add_functionts в retranslateUi()

Правильный вариант:

Приложение просто не отвечает после нажатия кнопки 'Запуск'(функция start)

Ну а что, логично. Читай как устроены оконные приложения, это же азы рабоыт с любым GUI.
Если кратко, у них в основе цикл, который принимает сообщения от ОС (нажата клавиша, сдвинута мышь, и т.д.) и обрабатывает их.
PyQT реализует этот цикл сам, ты имеешь дело только с обработчиками событий - но цикл от этого никуда не девается. Всё происходит в одном потоке, так что пока обработчик события работает - цикл стоит, следующие сообщения ждут очереди.
Так что когда ты делаешь while self.gag==True:, твой обработчик никогда не выйдет из цикла while, никогда не передаст управление оконному циклу, и щелчок по кнопке end никогда не будет обработан (кк и любое другое событие).

Что делать?
а) start запускает второй поток, end его останавливает. Кури документацию к модулю threading.
б) смотри, есть ли в PyQt способ запланировать вызов функции на следующей итерации оконного цикла/спустя некоторое время. В этом случае ты можешь раз за разом планировать вызов своей функции, которая реализует одну итерацию (гапример, шлёт одно нажатие кнопки). Поскольку её вызов будет выполняться средствами оконного цикла, а отрабатывать она будет быстро, это не помешает оконному циклу.