Как найти угол между средней линией и катетом в треугольнике?

Question

[Максим Кудрявцев]

Доброго всем времени суток.
Тренируюсь в программировании на Python на сервисе Hacker Rank. Споткнулся об задачу о нахождении угла в треугольнике.

Условия: прямоугольный треугольник, из прямого угла к гипотенузе проведена средняя линия. Длинны катетов известны.
Найти угол между средней линией и прилежащим катетом.


В дискуссии к задаче, другие участники уже опубликовали свои решения. Вот например:

import math

AB = int(raw_input()) 
BC = int(raw_input()) 
print str(int(round(math.degrees(math.atan2(AB,BC)))))+'°'

Сервис этот код принимает и засчитывает задание, однако, я не понимаю откуда здесь возникает atan2?
Я понимаю, что у меня пробел в фундаментальных знаниях математики. Мне не ясно, каким вообще образом арк тангенс связан с этим углом. Я не понимаю, по какой фразе гуглить или в какую сторону вообще копать.

Укажите мне, пожалуйста, направление.

Comments

[Денис Загаевский]

Ну ты пробовал какую-то школьную геометрию применить?

Answer 1

[Rsa97]

Для начала - это у вас не средняя линия, а медиана треугольника.

Из точки M опускаем перпендикуляр на сторону BC. Точку пересечения назовём M'.
Рассмотрим треугольники АВС и MM'C.
∠BCA = ∠M'CM, так как это общий угол треугольников.
∠ABC = ∠MM'C, так как эти углы прямые.
Значит эти треугольники подобны.
CM = 1/2 CA => CM' = 1/2 CB
То есть, точка M' делит CB пополам, а значит перпендикуляр MM' одновременно является и медианой треугольника BMC.
Значит треугольник BMC - равнобедренный и ∠MBC = ∠BCM = ∠BCA = atan(AB/BC).

Comments

[GavriKos]

Есть теорема про то, что медиана из прямого угла равна половине гипотенузы. Вы даже это косвенно через подобия и доказали )
Круто что подходов много.
Есть доказательство еще просто через выражения углов друг через друга и свойство равнобедренных треугольников.

[AVKor]

Для начала - это у вас не средняя линия, а медиана треугольника.

Формулировка вообще безграмотна.

Для рисунка из вопроса то, что треугольник BMC - равнобедренный, доказывается вообще в одну строчку. Только, судя по коду из вопроса, длины AB и BC могут быть произвольными.

[GavriKos]

AVKor, а эти длины не влияют - медиана на гипотенузу всегда равна половине гипотенузы

Answer 2

[GavriKos]

Гуглить соотношения в прямоугольном треугольнике.
А еще равенства углов в равнобедренных треугольниках могут пригодится...
Осталось найти где тут равнобедренные треугольники, а они есть

Answer 3

[Wataru]

Как найти угол на компьютере? Как его вообще можно вычислить? Очень редко в задаче можно выразить угол через какие-то другие известные углы в градусах. Чаще всего у вас есть какие-то координаты каких-то точек.

Из координат можно найти все тригонометрические функции - косинус, синус, тангенс... Из них потом уже можно получить значение угла в градусах/радианах через обратные тригонометрические функции, например арктангенс (atan в решении). Она по определению возвращает угол если ей передать значения арктангенса.

Чаще всего используют именно арктангенс, потому что, в отличии от косинусов/синусов, он хорошо работает для любого угла (у арксинуса, например, невозможно различить 45 и 135 градусов - значение синуса одно и то же). У арксинуса и арккосинуса нужно добавлять какие-то проверки сверху для решения неоднозначностей.

Почему в задаче такой ответ? atan() передаются косинус и синус угла, возможно растянутые на один и тот же коэффициент. Координаты точки М - (1/2 AB, 1/2 BC), ведь это середина AC. Представьте перпендикуляр из точки М на ость OX(BC). В получившемся треугольнике будет прямой угол, гипотенуза BM и катеты с длинами 1/2 AB, 1/2 BC. Соответственно, косинус/синус искомого угла будут 1/2/AM*AB, 1/2/AM*BC. Теперь вспоминаем, что atan() можно передавать значения, умноженные на константу. Вот пусть константа будет 2/AM. Тогда остаются AB и BC.

Еще, можно смотреть на atan() так - передайте ему координаты конца вектора и он вернет угол между OX и вектором.

Comments

[GavriKos]

По моему вы усложняете ))
Тангенс угла между гипотенузой и катетом равен соотношению катетов - из соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Угол MBC равен углу MCB (равно как и BAM равен MBA) - потому что BM == AM == MC (есть такая теорема про медиану прямоугольного треугольника), т.е. там два равнобедренных треугольника, у которых углы в основаниях равны (опять таки простые свойства равнобедренных треугольников).
Ну собственно и все.
Угол MBC == углу ACB (который является углом MCB) == atan(AB/BC)

Answer 4

[hint000]

без многобукв: гипотенуза совпадает с медианой, т.к. две гипотенузы пересекаются в своих серединах.