Как найти максимальную площадь?

Question

[Test]

Нужно найти максимальную площадь треугольника при a = const и альфа = const
У меня была идея исследовать функцию S(a, альфа) и найти ее макс значение.
Но я не понимаю, как представить зависимость площади только от угла и противоположной стороны...
P.S. да, площадь через полупроизведение сторон на синус альфа и связь сторон через теорему косинусов, но чет не получается.
P.P.S. мы проходим функции нескольких переменных, нахождение экстремумов

Answer 1

[Test]

Спасибо всем. Но решать надо было не так :D. С помощью дифф исчисления оно решается методом множителей Лагранжа

Comments

[longclaps]

Самодовольный индюк походя обосрал чужие ответы. Молодец, чо.

Answer 2

[Rsa97]

Никак не представить.

Comments

[Test]

Нужен математический вывод :)

[Rsa97]

YzxI, Зачем? Треугольник нельзя однозначно определить по стороне и противолежащему углу.
Тем более, если у вас два параметра зафиксированы жёстко, то для поиска экстремума нужен, как минимум, третий параметр. Это может быть один из оставшихся углов или одна из оставшихся сторон.

[Test]

Rsa97, не понимаю Вас. По мне задача решаема, в том плане, что можно выразить функцию площади треугольника, зависящую от угла и противоположной стороны...После этого найти производную, а там уже максимум находится...
P.S. это у нас на контрольной будет завтра

[Rsa97]

YzxI, Нельзя выразить площадь треугольника только из стороны и противолежащего угла. Я же вам нарисовал два треугольника, у которых угол A одинаковый, сторона a тоже одинаковая. Даже невооружённым взглядом видно, что они имеют разную площадь.
Нужен третий параметр, который позволит полностью определить треугольник.
Но ваша задача решается тривиально в уме. Максимальную площадь будет иметь равнобедренный треугольник.

Answer 3

[Sumor]

Подозреваю, что максимальная площадь получится, если AB=AC. Это даже можно доказать, взяв равнобедренный треугольник со стороной a и провести рядом другую сторону равную a. Можно показать, что треугольник "выше" всегда больше треугольника "снизу". Т.е. от площади больше отнимается, чем прибавляется.
Что касается функции, то нужно взять формулу вычисления площади по стороне и двум углам (второй угол будет оптимизирующим аргументом).
S = 1/2*a^2*sin (180 - α - β)* sin β/sin α

Answer 4

[jcmvbkbc]

Проще всего варьировать один из оставшихся углов, например B -- от 0 до pi - alpha и считать площадь как его функцию:

S = 1 / 2 * a^2 * sin(B) * sin(pi - alpha - B) / sin(alpha)

. Остаётся найти максимум этой функции на данном промежутке значений B.
См., откуда (из первого альтернативного представления) следует alpha + 2 * B = pi => B ( = C) = (pi - alpha) / 2, т.е. равнобедренный треугольник имеет максимальную площадь.