Как найти уравнение кривой описывающей фигуру?

Question

[Kovalsky]

Собственно, вот и весь вопрос, разве что можно немного уточнить: как найти уравнение кривой описывающей фигуру, если известны координаты точек, по которым построена фигура?

Например, каким уравнением можно описать фигуру, состоящую из точек с такими координатами:
( 40, 20 )
( 140, 120 )
( 120, 140 )
( 20, 40 )

Comments

[nirvimel]

Через конечное количество точек можно провести бесконечное количество различных кривых.
факт.

[AVKor]

Например, каким уравнением можно описать фигуру, состоящую из точек с такими координатами:
( 40, 20 )
( 140, 120 )
( 120, 140 )
( 20, 40 )

(|x-40| + |y- 20|) (|x- 140| + |y-120|) (|x-120| + |y-140|) (|x-20| + |y-40|) = 0.

[Kovalsky]

nirvimel: ну может я немного неправильно объяснил, но остальные вроде поняли: имеется ввиду замкнутая фигура, которая получится если эти (а также последнюю с первой) точки соединить отрезками последовательно.

[Kovalsky]

AVKor: а если, например, между первой и второй точкой не отрезок, но дуга с постоянным радиусом кривизны, можно как-то обойтись без ее аппроксимации с последующим вычислением выражений прямых для каждого из получившихся (в результате аппроксимации) отрезков?

[AVKor]

Никита Полевой: Я дал точный ответ на поставленный (процитированный мной) вопрос.

Математика не терпит небрежностей и ошибок в формулировках.

[Kovalsky]

AVKor: не очень понял. Да, вы дали ответ, и да, математика - она такая. И все же, можно ли как-то элементарно модифицировать ваше выражение для случая, если вместо одного из отрезков у этой фигуры будет дуга?

[AVKor]

Никита Полевой: Внимательно прочитайте, что вы "хотели" получить (я этот кусок цитировал) и попытайтесь понять, что это за фигура такая. Вот для этой фигуры я и дал уравнение. Можете пойти "с обратной стороны", проанализировав уравнение (т.е., понять, какие точки ему удовлетворяют).

[Kovalsky]

AVKor: я хотел получить выражение, которым можно описать четырехугольник. И вы дали ответ. Но это был самый простой пример, для которого я хотел получить решение. А раз вы единственный дали определенный ответ, значит есть шанс, что вы достаточно компетентны, чтобы разобрать случай сложнее этого примера. Например когда фигура взята та же, только "между первой и второй точкой не отрезок, но дуга".

[AVKor]

Никита Полевой:

я хотел получить выражение, которым можно описать четырехугольник.

То, что я цитировал ранее (и дал уравнение) - это не четырёхугольник.

А раз вы единственный дали определенный ответ

Не единственный. Определённый ответ (и правильный) давно дал nirvimel

[Kovalsky]

AVKor: тогда я представления не имею, что это за фигура. К тому же, я не очень понимаю зачем там модули, если и без них можно обойтись: без модулей равенство также будет верным в точках из моего примера.

Ну, nirvimel, насколько я понял, намекнул на то, что через эти точки кривую можно провести как угодно, а я ему ответил, что "может я немного неправильно объяснил", но "имеется ввиду замкнутая фигура, которая получится если эти (а также последнюю с первой) точки соединить отрезками последовательно". К тому же, все остальные вроде поняли, о чем речь.

[AVKor]

Никита Полевой:

тогда я представления не имею, что это за фигура.

Плохо. Надо учить математику снова, с ахов.

Это те 4 точки с заданными координатами. И только они.

К тому же, я не очень понимаю зачем там модули, если и без них можно обойтись: без модулей равенство также будет верным в точках из моего примера.

У них (с модулями и без) множества решений, мягко говоря, разные.

"имеется ввиду замкнутая фигура, которая получится если эти (а также последнюю с первой) точки соединить отрезками последовательно".

Такая фигура называется многоугольником.

А вот что в самом вопросе:

Как найти уравнение кривой описывающей фигуру?

Назвать многоугольник кривой - это несколько странно.

[Kovalsky]

Это те 4 точки с заданными координатами. И только они.

Ну я так и подумал, но wolfram мне что-то такое страшное показал, когда я эту формулу туда ввел, что я вообще ничего не понял.

У них (с модулями и без) множества решений, мягко говоря, разные.

А, ну да, наконец дошло.

Такая фигура называется многоугольником.

А как будет называться эта фигура, если один из отрезков заменить дугой?

Назвать многоугольник кривой - это несколько странно.

Безусловно, но это не помешало остальным как-то понять, что именно я хочу, и ответить на вопрос.

Answer 1

[Денис Загаевский]

Видимо, вам надо каким-то образом интерполировать. Например, самый простой способ, Интерполяционный многочлен Лагранжа. Обладает тем свойством, что обязательно пройдёт через все точки, но между ними будет вести себя непредсказуемо (читай - улетать в небеса или к плинтусу). Ну и другие все интерполяции существуют.

Answer 2

[xmoonlight]

Кривые Бизье - это фундамент векторной графики.
Отправная точка - 100% они.

Comments

[EndUser]

А разве кривая Безье проходит через заданные точки?

[Kovalsky]

EndUser: кажется нет, именно для этой цели наверное как раз и нужен многочлен Лагранжа и всякие интерполяции.

[xmoonlight]

Никита Полевой: 2-е кривые бизье могут составлять эллипс, 4 - прямоугольник.

Answer 3

[Алексей]

Для начала надо уточнить какую кривую мы ищем - y = f(x) или параметрическую, какого порядка.
На вскидку в ваши точки вписывается что-то типа искаженного эллипса или синус какой-нибудь, если порядок точек дан неверно.

Comments

[Kovalsky]

К сожалению, я не в курсе, что такое порядок кривой, но требуемое гипотетическое выражение функцией точно не будет, т.к. приведенный мною пример - самая простая фигура, для которой хотелось бы найти выражение. Например, кривая описывающая прямоугольник, как в примере.

[Алексей]

Вот например функция некоторого четырехугольника - joxi.ru/VrwQ0wRuKdkzd2.png
Коэффициенты, конечно, не те, подбирать надо.
Может кто подскажет по делу.