Вероятность определения общего числа событий по неполным данным?

Question

[robert_ayrapetyan]

Задача возникла в кластере, обслуживающим запросы клиентов.
Дано:
N пустых корзин. Человек с завязанными глазами кидает по одному яблоку в корзины, вероятность попадения в любую
из корзин - 1\N (промахи не возможны). Всего было кинуто M яблок, но никто их не считал во время бросков.
Затем человеку развязывают глаза и приносят одну корзину (любую на выбор).

Вопрос: каким должно быть число L яблок в этой одной корзине, чтобы человек, зная про вероятность попадания 1\N, смог с вероятностью P > 99.9% назвать число M кинутых яблок?

Answer 1

[Rsa97]

Бесконечным. Тогда можно гарантированно сказать, что бросили бесконечное количество яблок. Во всех остальных случаях можно сказать только, что M ≥ L.

Comments

[robert_ayrapetyan]

А если поменять условие, скажем, на "P > 10%", сколько тогда?

[Rsa97]

robert_ayrapetyan: Тут уже надо считать. Мои дилетантские рассуждения таковы:
Рассмотрю частный случай - N = 2, L = 1, принесли первую корзину.
Вероятность того, что в первой корзине оказался 1 мяч при М бросках:
P(M)_N=2,L=1 = M/2^M
Сумма вероятностей:
SUM(P(M))_M=1..inf = 2
Вероятность того, то бросали M мячей:
P1(M) = P(M)/2

M | P1(M) 
1 | 0.25
2 | 0.25
3 | 0.19
4 | 0.13
5 | 0.08
6 | 0.05

Answer 2

[Андрюха]

Ну, в случае одной корзины посчитать можно точно, с вероятностью 1. А в случае бесконечного n принесенная корзина будет скорее пуста и вероятность правильного ответа 0. Между этими значениями можно наверное функцию, распределения вероятности, построить с аргументами. Дальше не уверен...
(редакция)
Учитывая что я всегда отвечаю что M=L*N, то далее L можно не исспользовать. Все что ниже начинается с >, подстате в www.wolframalpha.com/input, для проверки и пояснений. И выходит, что даже при малом N = 2 (=1 мы уже рассмотрели), лучшее чего можно добится ~0.5, а если уже N= 3, то все уже еще хуже.

> Plot3d[(M choose M/N)/N^M, {N, 1, 10}, {M, 0, 100}]

M=2
N=2
> (2 choose (2/2))/(2^2) = 0.5

M = 100
N = 2

> (100 choose (100/2))/(2^100) ~ 0.08

M = 1000
N = 2

> (1000 choose (1000/2))/(2^1000) ~ 0.025

M = 100000
N = 2

> (100000 choose (100000/2))/(2^100000) ~ 0.025....

M = 9
N = 3

> (9 choose (9/3))/(3^9) ~ 0.004

M = 18
N = 3

> (18 choose (18/3))/(3^18) ~ 0.00004

Comments

[robert_ayrapetyan]

Хм, т.е. для N < 10, L получается < 20К? Интересно...
А где у вас в формуле ((1/N)^(1/L)) видно, что вероятность именно > 99.99% ? Что если в условии задачи поменять формулировку на "P > 10%"...

[robert_ayrapetyan]

robert_ayrapetyan: нет, стоп... с 20К промахнулся. Так чему же все таки равно L выходит для P>99.99% ?

[Андрюха]

Это спекулятивная функция (лженаучная), я не говорю что она правильная (как минимум наверное коэффициент нужен), а только полагаю, что она имеет некоторое сходство с тем, что произошло бы. Ну во первых, я точно знаю, что я отвечу для М, т.е M = L*N. Я знаю, что чем меньше N и больше L, тем мое значение (вероятность, что я прав) будет ближе к 1. Я еще понимаю, что зависимость не линейная, а некая кривая и взял, что прошло в голову ((не)научный тык). Косинусов может там не хватает, но что то в этом есть. А сказать могу точно про 0.9999 если только N = 1 (при чем даже если L = 0, что в моей формуле невалидно).

Answer 3

[Андрей]

Возьмите формулу биномиального распределения и проверяйте гипотезу о том, что наблюдаемое значение L соответствует моде биномиального распределения для M, против (возможно не модальных значений) для (M-1) и (M+1). Увеличением L добейтесь того, чтобы гипотеза не отвергалась с требуемым Вам уровнем ALPHA.

Возможно, глядя на характер биномиального распределения при больших L, у Вас это не получится. То есть сказать с точностью до M при желаемом Вами уровне нельзя - только диапазон - от М_LO до M_HI